โจทย์มหาลัยญี่ปุ่นครับ
 

จงพิสูจน์ว่าสำหรับรูป n เหลี่ยมใดๆ จะมีเส้นตรงที่แบ่งครึ่งทั้งความยาวรอบรูป และ พื้นที่

แบบนี้ก็ไม่ได้แบ่งครึ่งนะครับ

เราลองหาเส้นที่แบ่งครึ่งเส้นรอบรูป แล้วเลื่อนไปเรื่อยๆ จะมีเส้นๆ หนึ่งที่แบ่งพื้นที่ได้พอดีครับ :)

ยังไม่ได้อะครับ ช่วยใบ้อีกหน่อยได้มั้ยครับ

สมมติว่าเราอยู่บนจุดๆ หนึ่งของเส้นรอบรูป แล้วเดินไปรอบเส้นรอบรูปเป็นระยะครึ่งนึงพอดี

ลากเส้นเชื่อมจุดแรกกับจุดสุดท้ายก้จะได้เส้นที่แบ่งครึ่งด้าน

คราวนี้ก็จะเห็นว่า เส้นตรงเส้นนี้จะแบ่งรูปเป็นสองฝั่ง คราวนี้ก็ลองขยับจุดเริ่มต้นไปเรื่อยๆครับ :)

ถ้าจะทำให้เป็นระบบขึ้นควรแบ่งงานเป็น2ส่วน
ส่วนที่1...เป็นรูปnเหลี่ยมใดๆที่สามารถวาดรูปวงกลมแนบในทุกด้านของรูปเหลี่ยมนั้นได้
และข้อคาดการณ์คือถ้าลากเส้นตรงผ่านจุดศูนย์กลางวงกลมแนบในรูปเหลี่ยมนั้นน่าจะมีเส้นตรงอยู่อย่างน้อย
เส้นหนึ่งที่จะแบ่งพื้นที่และเส้นรอบรูปของรูปเหลี่ยมนั้นอย่างละครึ่งพอดี
งานส่วนที่2...คือรูปnเหลี่ยมที่ไม่สามารถวาดวงกลมแนบในทุกด้านของรูปเหลี่ยมนั้นได้
แต่คาดว่าจะสามารถวาดวงรีแนบในได้เสมอและอันนี้ไม่แน่ใจว่าถ้าลากเส้นตรงผ่านจุดศูนย์กลางของวงรี
แนบในรูปเหลี่ยมนั้นแบบเดียวกับงานส่วนที่1จะมีเส้นตรงที่แบ่งครึ่งพื้นที่และเส้นรอบรูปของรูปเหลี่ยมนั้นมั้ย..?