สอวน ม.นเรศวร ปี 2553 วิชาคณิตศาสตร์
 

มี 14 ข้อแสดงวิธีทำครับ

เท่าที่จำได้ก็มีดังนี้

1.) $a,b,c$ เป็นคำตอบของสมการ $x^3-6x^2-16x+24$ จงหาพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม

ที่มี $a^2,b^2,c^2$ เป็นคำตอบ

2.) จงหาเซตคำตอบของสมการ $\sqrt{2x+8-6\sqrt{2x-1}}+\sqrt{2x+2\sqrt{2x-1}}=4$

3.) ให้ $a,b,c$ เป็นคำตอบของพหุนาม $x^3-7x^2+6x-1$

จงหา $\sum_{k = 0}^{3}(a^k+b^k+c^k) $

XX.) สี่เหลี่ยมผืนผ้า $ABCD$ มีจุด $P$ เป็นจุดภายใน $PA=5,PB=7,PC=6$ จงหา $PD$

XX.) TMO7 วันที่ 1 ข้อที่ 1

XX.) วงกลมรัศมี 1,2,3 สัมผัสกันและกัน มีช่องว่างตรงกลาง จงหารัศมีของวงกลมที่แนบอยู่ในช่องว่างนั้น

XX.) $(1)(4)(7)...(2011)$ มี 0 ต่อท้ายกี่ตัว

XX.) $2553^{2010}$ มีสองหลักสุดท้ายคือ

XX.) ให้ $a,b$ เป็นจำนวนเต็ม และมีโอเปอเรชัน $\odot $ ที่

$a\odot a=a+2$

$a\odot b=b\odot a$

$\frac{a\odot (a+b)}{a\odot b}=\frac{a+b}{b}$

จงหา $8\odot 5$

XX.) จงหาจำนวนอันดับของจำนวนเต็มบวก $(a,b,c,d,e)$ ที่สอดคล้องกับ

$a+b+c+d+e\leqslant a\times b\times c\times d\times e\leqslant 12$

XX.) จงหาจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุดที่มีค่าไม่เกิน 4567 ที่หารด้วย 6,5,4,3 เหลือเศษ 5,4,3,2

และหารด้วย 23 ลงตัว

XX.) Attachment 3789

มีจำนวนที่เรียงอยู่เป็นรูปสามเหลี่ยมคว่ำ เช่น 3,5,9

ถ้า $a,b,c$ เป็นจำนวนที่เรียงเป็นรูปสามเหลี่ยมคว่ำในรูป

โดยที่ $c$ อยู่ด้านล่างสุดของสามเหลี่ยม

ถ้า $a+b+c=6121$ จงหา $c$

XX.) จงหาเซตของจำนวนเต็มบวก 2 หลักที่หาร 8231 เหลือเศษ 41

XX.) จงหาค่าสูงสุดและต่ำสุดของ $9\sin^22\theta +8\sin \theta\cos \theta + 5\cos^22\theta $

XX.) $2553^{2010}$ มีสองหลักสุดท้ายคือ

Attachment 3791

$PD^2 + PB^2 = PA^2 + PC^2$

$PD^2 + 7^2 = 5^2 + 6^2$

$PD^2 = 12$

$PD = 2\sqrt{3} \ $ หน่วย

ข้อแรกก็เล่นเอาผมหืดขึ้นคอแล้ว...ตอนแรกไปแก้สมการพหุนาม....เข้าป่าไปเลย เพิ่งคิดคำตอบเสร็จ
คำตอบคือ $x^3-168x^2-6376x+13824$

โทดครับๆ กำลัง 2 ครับ:sweat::sweat::sweat:

2. Gives $\sqrt{2x-1} =t$
We have $\sqrt{t^2-6t+9} + \sqrt{t^2-2t+1}$
then$ \left|\,\right. t-3 \left|\,\right. +\left|\,\right. t-1\left|\,\right. =4$
Cases 1. $t < 1 , -t+1-t+3 = 4 , -2t = 0 , t = 0$
2. $1 \leqslant t \leqslant 3, t-1-t+3 = 4 , 2=4$
3. $t>3 , t-1+t-3 = 4 , t=4$

Union all cases , $t=0,4$ ....
** I Haven't checked the answers yet

โอ้โห....โดนสกัดดาวรุ่ง...ผมคิดเสร็จไปแล้ว ตอนนั่งทำยังแอบบ่นเลย ว่าเขาจะคัดจอมอึดหรือเปล่า
เดี๋ยวคิดใหม่ ไม่ยากแล้ว เพราะก่อนผ่านไปกำลังสาม ก็ต้องผ่านกำลังสองสอง

คำตอบคือ$x^3-68x^2+544x-576$
สมการที่มีรากเป็น$a^2,b^2,c^2$ คือ $x^3-(a^2+b^2+c^2)x^2+(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)x-(abc)^2$
จาก$x^3-6x^2-16x+24$ เทียบสัมประสิทธิ์ได้ว่า
$a+b+c =6$
$ab+bc+ac = -16$
$abc = -24$
$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)= 36+32=68$
$a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2=(ab+bc+ac)^2-2abc(a+b+c)= 256-2(-24)(6)=256+288=544$

มาลองหาสมการที่มีรากเป็น$a^3,b^3,c^3$ดีไหมครับ...ที่ผมตอบไปรู้สึกว่าทดเลขผิด เดี๋ยวเสร็จข้ออื่นค่อยว่ากัน

3. $x^3 -7x^2+6x-1 = 0$
$\sum_{k=0}^{3} = 3+a+b+c+a^2+b^2+c^2+a^3+b^3+c^3 , a+b+c = 7 $
$a^2+b^2+c^2 +2ab+2bc+2ca = (a+b+c)^2 = 49 = a^2+b^2+c^2 +2(6) , a^2+b^2+c^2 = 37$
$a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) , a^3+b^3+c^3 = 7(37-(6)) + 1 = 216$

$\sum_{k=0}^{3} a^k+b^k+c^k = 263$

จากเรื่องการหารเราเขียน$8231$ เป็น $8231=ab+41$ ดังนั้น$ab=8190$
ซึ่งความหมายของโจทย์คือ หาเลขสองหลักที่เป็นตัวประกอบของ$8190$โดยที่อยู่ระหว่าง$42-99$
แยกตัวประกอบของ$8190=2\times 7\times 3\times 3\times 5\times 13$
จะได้เซตคำตอบคือ$\left\{\,42,45,54,63,65,70,78,84,90,91\right\} $
เมื่อกี้คงเบลอหยิบเลขมาใช้ซ้ำซ้อน ขอบคุณครับที่ช่วยกันดู ผมชอบสะเพร่าประจำเลยครับ
แก้คำตอบเหลือแค่$\left\{\,42,45,63,65,70,78,90,91\right\} $

ขอโทษครับ โจทย์ผิดครับ :sweat::sweat::sweat:

เอาอีกแล้ว

แนวคิดเก่าครับ
$t+1 + \left|\,\right. t-3 \left|\,\right. =4$
$\left|\,\right. t-3 \left|\,\right. = 3-t$
$t-3 \leqslant 0 , t \leqslant 3$ แต่ $t \geqslant 0$
เราจะได้ $0\leqslant t\leqslant 3 , 0 \leqslant \sqrt{2x-1} \leqslant 3,\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant 5$

ผมคิดได้ $4$ กับ $13$
$9\sin^22\theta +8\sin \theta\cos \theta + 5\cos^22\theta =4sin^22\theta+4sin2\theta+5$
$=(2sin2\theta+1)^2+4$
จาก$-1\leqslant sin\theta\leqslant 1 \rightarrow -1\leqslant sin2\theta\leqslant 1$
$-2\leqslant 2sin2\theta\leqslant 2 \rightarrow -1\leqslant 2sin2\theta+1 \leqslant 3$
$0\leqslant (2sin2\theta+1)^2 \leqslant 9$
$4\leqslant (2sin2\theta+1)^2 +4\leqslant 13$

ไม่มี 84 ครับ มันหารไม่ลงครับ

ข้อนี้ผมได้ 240 ครับ

ผิดหรือถูกครับ

54 กับ 84 ไม่เป็นตัวประกอบของ 8190 ครับ