Mathcenter Forum - มีโจทย์สนุกๆมาให้ทำ factorial กับ ยกกำลัง

Mathcenter Forum (https://www.mathcenter.net/forum/index.php)

- ปัญหาคณิตศาสตร์ ม. ต้น (https://www.mathcenter.net/forum/forumdisplay.php?f=31)

มีโจทย์สนุกๆมาให้ทำ factorial กับ ยกกำลัง

ฝึกสมองเล่นๆ ในวันเหงาๆ

จงเรียงลำดับค่าของ $(9!)^7, (8!)^8 \ $ และ $ \ (7!)^9 \ $ จากมากไปหาน้อย

$1 \ \ (9!)^7, (8!)^8, (7!)^9$
$2 \ \ (9!)^7, (7!)^9, (8!)^8$
$3 \ \ (8!)^8, (9!)^7, (7!)^9$
$4 \ \ (8!)^8, (7!)^9, (9!)^7$

ref : http://www.kukkai.org/problems/view/1374

ตอบ ข้อ 1

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker (ข้อความที่ 120496)

จะพิสูจน์ว่า $(n-1)!^{n+1} < (n!)^n < (n+1)!^{n-1}$ เมื่อ $n=8$

การแสดงว่า $(n-1)!^{n+1} < (n!)^n$ สมมูลกับข้อความ การแสดงว่า $(n-1)! < n^n$
ซึ่งสามารถอุปนัยได้ไม่ยาก

Induction

เราจะแสดงว่า $(n-1)! < n^n$ เมื่อ $n \geqslant 2$
$P(2)$ เป็นจริง เพราะ $ 0! = 1 < 2^2 $
สมมุติว่า $P(n)$ เป็นจริงนั่นคือ$ (n-1)! < n^n$ เมื่อ $n \geqslant 2$
ต้องการแสดงว่า $P(n+1)$ เป็นจริง
จาก $(n-1)! < n^n $
$n! < n^n * n$
$n! < n^{n+1} < (n+1)^{n+1}$

ทีนี้เราจะแสดงว่า $ (n!)^n < (n+1)!^{n-1}$ ซึ่งสมมูลกับข้อความ การแสดงว่า $(n+1)! < (n+1)^n$
ซึ่งก็อุปนัยได้ไม่ยากเช่นกัน

Induction#2

เราจะแสดงว่า $(n+1)! < (n+1)^n$ เมื่อ $n \geqslant 2$
$P(2)$ เป็นจริง เพราะ $ 3! = 6 < 3^2 $
สมมุติว่า $P(n)$ เป็นจริงนั่นคือ$ (n+1)! < (n+1)^n$ เมื่อ $n \geqslant 2$
ต้องการแสดงว่า $P(n+1)$ เป็นจริง
จาก $(n+1)! < (n+1)^n $
$(n+1)!(n+2) < (n+1)^n*(n+2)$
$(n+2)! < (n+1)^n*(n+2) < (n+2)^n(n+2) < (n+2)^{n+1}$

ซึ่งเราสามารถนำไปขยายจากบทพิสูจน์นี้ได้อีกว่า เมื่อ $n \geqslant 2$
$$(n-1)!^{n+1} < (n!)^n < (n+1)!^{n-1}$$

คิดแบบ

ROCK&ROLL

$log(9!)^7=7(log1+log2+log3+...+log9)\approx 89$
$log(8!)^8=8(log1+log2+log3+...+log8)\approx 84$
$log(7!)^9=9(log1+log2+log3+...+log7)\approx 76$

คิดแบบเด็กม.ต้นเลย
$(8!)^8=(8\times 7!)^8=8^8\times (7!)^8$
$(7!)^9=(7!)\times (7!)^8$
เอาแค่$8^8$ มาเทียบกับ $7!$......เห็นชัดๆว่า $8^8 >7!$
ดังนั้น$(8!)^8>(7!)^9$

$(9!)^7=(9\times 8!)^7=9^7\times (8!)^7$
เอามาเทียบกับ$(8!)^8=8!\times (8!)^7$
เอา$9^7$ มาเทียบกับ $8!$
$8!=8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1$
เราเอามาเทียบจะได้ว่า
1.$9^5>8\times7\times6\times5\times4$
2.$9^2>3\times2\times1$
ดังนั้น $(9!)^7>(8!)^8$
เรียงกันได้ $(9!)^7> (8!)^8 >(7!)^9$
ผมเดาว่าลุงBankerน่าจะมาทางเดียวกับผมแน่ๆ เดาถูกไหมครับลุง วิธีแบบเด็กม.ต้น

กะว่าเช้านี้จะมาแสดงวิธีทำแบบ ม. ต้น เพราะเด็กม. ต้นเมา ROCK&ROLL กับ Induction

มาเห็นคุณกิตติแสดงวิธีทำแล้ว เหมือนกันเด๊ะ ยังกะรู้ความคิดผมอย่างนั้นแหละ :haha:

ต่างกันเล็กน้อยตรงเปรียบเทียบตอนท้ายๆ

$9^7 = 9 \times 9 \times 9 \times 9 \times 9 \times 9 \times 9 \ \ \ $ มีเลขโดด 9 จำนวน 7 ตัว

$8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \ \ \ $ มีเลขโดด จำนวน 7 ตัว

เทียบตัวต่อตัว $ \ \ \ 9^7 > 8! \ \ \ $