Functional
1.หาฟังชันก์ $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ โดยที่ $$f(xf(y))=f(x+y),\ \ \ \ \forall x,y \in \mathbf{R}$$
2.หาฟังชันก์ $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ โดยที่ $$f(x^2-y^2)=xf(x)-yf(y),\ \ \ \ \forall x,y \in \mathbf{R}$$ 3.หาฟังชันก์ $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ โดยที่ $$f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y,\ \ \ \ \forall x,y \in \mathbf{R}$$ |
1. ตรงๆ $f(x)=c$
2. $xf(x)=f(x^2)$ แทนค่าตรงตาม form Cauchy |
#2
ข้อ 2 ยังใช้ผลจากโคชีมาไม่ได้นะครับ ถึงแม้เราจะรู้แล้วว่า $f(x^2-y^2)=f(x^2)-f(y^2)$ ก็ยัง imply ไม่ได้ว่า $f(x-y)=f(x)-f(y)$ ทุกจำนวนจริง แต่ได้เฉพาะจำนวนจริงบวก ต้องพิสูจน์อีกเงื่อนไขหนึ่งคือ ฟังก์ชันคี่ สำหรับ $x \not= 0$ แทน $y=-x$ ลงไปก็จะได้ครับ เราถึงจะสรุปได้ว่า $f(x)=cx$ ทุกจำนวนจริง $x$ สำหรับค่าคงที่ $c \in \mathbb{R}$ ใดๆ |
ไหนๆก็ไหนๆแล้ว ใบ้ข้อสามเลยดีกว่า แต่คิดว่าน่าจะมีวิธีที่ดีกว่านี้ :sweat:
แทนค่าจนได้ว่า $f(0)=0$ จัดรูปจนได้ว่า $[f(x)]^2=x^2$ แล้วได้คำตอบเป็น $f(x)=x$ หรือ $f(x)=-x$ ทุกจำนนจริง $x$ แต่ดูให้ดีว่าลืมอะไรไปหรือเปล่าในการสรุปคำตอบข้างต้น ฝากเอาไปคิดดูเล่นๆ |
Unsure Solution
3.find $f$ with$x,y\in\mathbb{R}$ such that $f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y$ put $y=y-f(x)^2$ get $f(xf(x)+f(y-f(x)))=y$ so $f$ is surjective func. Thus there exist $t$ such that $f(t)=0$ Let $x=t$ we have $f(f(x))=x$ then replace $x$ with $f(x)$ in given function we get $$f(xf(x)+f(y))=f(f(x)f(f(x))+f(y))=f(f(x))^2+y=x^2+y$$ So $x^2+y=f(x)^2+y\rightarrow f(x)=\pm x$ |
ลำพังจาก $(f(x))^2=x^2$ สรุปเลยไม่ได้ต้องทำต่ออีกนิดครับ
สมมติว่า มี $u,v$ ที่ทำให้ $f(u)=u$ และ $f(v)=-v$ แล้วพิสูจน์ขัดแย้ง |
#5 เจ๋งครับ :great:
#6 มี $f(x)^2=x^2$ มันสรุปไม่ได้หรอครับว่า $f(x)= \pm x$ ผมยังไม่ค่อยเข้าใจน่ะครับ :please: |
ขอบคุณครับ #6,#7
ปล. ข้อนี้ทำไงอ่ะครับ ผมว่ามันยากมากอ่ะ = =" |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
2.พิสูจน์ว่า $f(1)=1$ 3.พยายามพิสูจน์ว่า $f(x)=\frac{1}{x}$ ทุก $x>0$ ใช้ข้อมูลมาสรุป contradiction ผมทำมาถึงตรงข้อ 3 ครับ ยังไม่ได้คิดต่อ |
#10 ผมได้ว่ามันเป็น decreasing อ่ะครับ เเล้วก็ $f(1)$ นี่หาเท่าไรก็ยังตันอยู่เลยครับ 555
|
ที่มันยังสรุปไม่ได้ เพราะอาจจะมีฟังก์ชั่นแปลกๆครับ
ที่มีบางช่วงที่ $f(x)=x$ และมีบางช่วงที่ $f(x)=-x$ ครับ :D |
จงหาฟังก์ชัน $g:\mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ ซึ่ง
$$g(x+y)+g(x)g(y)=g(xy)+g(x)+g(y)$$ |
อันนี้สวยมากครับ 555
Find $f$ such that $f(f(x)+y)=f(x^2-y)+4yf(x)$ for $x,y\in\mathbb{R}$ take $y=0$ get $f(f(x))=f(x^2)$ and take $y=x^2-f(x)$ we have $f(x^2)=f(f(x))+4(x^2-f(x))f(x)$ so $f(x)=0$ or $f(x)=x^2$ :happy: |
อ้างอิง:
ต่อไปก้แทน yด้วย1 แทนxด้วยx+1 yด้วย1 พิจารณา แทน x,yด้วย 1 ที่เหลือน่าจะไปต่อได้ |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 11:52 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha