โจทย์ 2007 Taiwan imso
 

Each of faces of a regular octahedron is numbered with a different integer. Each vertex is assigned a "vertex number" which is the sum of the numbers on the faces which intersect in that vertex and then the sum of the vertex numbers is calculated. What is the highest number which must divide this sum,for every possible numbering of the faces?
(ฝากแปลโจทย์+วิธีทำด้วยนะครับ:):):):please::please::please::great:)

ในรูปทรงแปดหน้าแต่ละหน้าเขียนตัวเลขไว้หนึ่งตัวเลขที่แตกต่างกัน ต่อมากำหนดตัวเลขบนแต่ละมุมให้เท่ากับผลรวมของแต่ละหน้า
ที่มีมุมนั้นเป็นจุดยอด หาผลรวมของตัวเลขบนแต่ละมุม จงหาจำนวนที่มากที่สุดที่จะไปหารตัวเลขนี้ลงตัวเสมอ ไม่ว่าตอนแรกจะกำหนดตัวเลขเป็นอย่่างไร

ลองทำดูก่อนนะครับ

ลองคิดดู
 

ลองให้เลขในแต่ละหน้าแทนด้วยa,b,c,d,e,f,g,hดู
เลขที่จุดยอดจะเป็น
$a+b+c+d$,
$a+b+e+f$,
$b+c+f+g$,
$c+d+g+h$,
$a+d+e+h$,
$e+f+g+h$
เมื่อรวมกันจะได้
$$3a+3b+3c+3d+3e+3f+3g+3h$$
ดึง3ออกมา
$$3(a+b+c+d+e+f+g+h)$$
ซึ่ง3จะหารลงตัวเสมอ

หรือจะคิดว่า หน้าแต่ละหน้าของทรงแปดหน้าปกติเป็นสามเหลี่ยม ซึ่งตัวเลขบนแต่ละหน้าก็จะถูกบวก3ครั้ง คือถูกบวกอยู่บนจุดยอดทั้ง3จุด