สอวน. คณิตศาสตร์ ศูนย์ศิลปากร ครับ ( 2553 )
ผมพึ่งไปสอบมาสดๆเลยวันนี้ มีทั้งหมด 12 ข้อนะครับ เติมคำตอบ 9 ข้อ ข้อละ 5 คะแนน
แสดงวิธีทำ 3 ข้อ ข้อละ 10 คะแนน รวม 75 คะแนนครับ แบบเติมคำตอบครับ 1. กำหนดให้ $x^2 - \sqrt{7}x + 1 = 0$ จงหาค่าของ $\frac{x^8+x^6+x^2+1}{x^4}$ (ตอบเป็นจำนวนเต็ม) 2. กำหนดให้ x และ y เป็นจำนวนเต็ม จงหาจำนวนของคู่อันดับ (x,y) ที่สอดคล้องกับสมการ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$ 3. ถ้าตั๋วเข้าชมฟุตบอลราคา 50 บาท จะมีผู้เข้าชมฟุตบอลจำนวน 10000 คน ถ้าราคาตั๋วแพงขึ้น 5 บาท แล้วคนดูจะลดลง 100 คน จงหาราคาตั๋วที่ทำให้ได้เงินในการจัดแข่งขันฟุตบอลมากที่สุด 4. กำหนดให้ A เป็นเซตของจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่มีค่าไม่เกิน 13 กำหนดให้ B เป็นเซตใดๆ และกำหนดให้ $M \subseteq A$ ถ้า $n(A-B) = 3$ และ $n(A \cap B) \leqslant 2$ ถามว่ามีเซต M ทั้งหมดกี่แบบ 5. นาย ก กล่าวว่า " ถ้าคุณลบสองในสามของเวลา ณ ตอนนี้ถึงเที่ยงของวันพรุ่งนี้ ออกจากสองเท่าของเวลา เที่ยงถึงตอนนี้ คุณจะได้เวลาตอนนี้ที่ช้าไป 10 นาที " เวลาตอนนี้ที่นาย ก กล่าวถึงคือเวลาใด อีก 4 ข้อที่เหลือเป็น ตรรกศาสตร์ยาวๆซึ่งผมจำโจทย์ไม่ค่อยได้ 1 ข้อ ที่เป็นรูป 2 ข้อ และอนุกรมอย่างง่าย 1 ข้อ แบบแสดงวิธีทำ 1. กำหนดให้ $P(x)$ เป็นพหุนามกำลังสอง ที่ $P(x) \geqslant 0$ และ a เป็นจำนวนเต็มที่มีคุณสมบัติต่อไปนี้ 1) $P(a) = 0$ 2) $P(a+1) = 1 $ จงแสดงวิธีหาค่าของ $P(a+2) + P(a+1)$ อย่างละเอียด 2. กำหนดให้ $[x]$ แทนจำนวนเต็มที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ $x$ จงเขียนวิเคราะห์การหาคำตอบของจำนวนจริง $x$ ในสมการ $x[x] = 11$ อีก 1 ข้อเป็นโจทย์เกี่ยวกับสามเหลี่ยมยาวมากครับ จำไม่ได้ ----------------------------------------------------------------------------------- เดี๋ยววันไหนว่างๆจะนำวิชาคอมพิวเตอร์มาลงนะครับ แต่ปีนี้คอมพิวเตอร์ง่ายมากๆเลยครับ ไม่มี ม.ปลาย มาเกี่ยวเนื่อง ด้วยเลย โดยวิชาคอมพิวเตอร์มีข้อสอบปรนัย 40 ข้อนะครับ เป็นคณิตศาสตร์ซะส่วนใหญ๋ แล้วก็เป็นอัตนัย 2 ข้อครับ ดังนี้ครับ 1. เป็นการเขียน FlowChart ครับ 2. กำหนดให้ $\alpha$ และ $\beta$ เป็นคำตอบของสมการ $2ax^2 - a^2x + 3 - a = 0$ จงหา $\frac{\alpha +\beta }{\alpha \cdot \beta }$ -------------------------------------------------------------------------------------- ขอให้ทุกท่านมาช่วยกันเฉลยวิธีคิดนะครับ ขอบคุณมากครับ |
อ้างอิง:
จัดรูปสมการแล้วได้ว่า ถ้า$\alpha,\beta $เป็นรากของสมการ $ax^2+bx+c=0$ จะได้ว่า$\alpha+\beta = -\frac{b}{a} $ และ$\alpha\bullet \beta = \frac{c}{a} $ ดังนั้นค่าของ$\frac{\alpha +\beta }{\alpha \cdot \beta }= \frac{ -\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}} $ $= -\frac{b}{c} $ จากสมการ $2ax^2 - a^2x + 3 - a = 0$ จะได้ว่า $\dfrac{\alpha +\beta }{\alpha \cdot \beta }= \dfrac{a^2}{3 - a} $ |
อ้างอิง:
เซต$M$ เป็นไปได้$2^5$....ถ้าโจทย์ถามแค่นั้น ไม่รู้ว่าเซต$B$จะบอกมาเพื่ออะไร...งงครับ รบกวนเช็คโจทย์อีกทีครับ ผมว่าโจทย์น่าจะบอกว่า$M\subset B$ แบบนี้หรือเปล่าครับ |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
$x^2+\dfrac{1}{x^2} = 5$ และ $x^4+\dfrac{1}{x^4} = 23$ $\dfrac{x^8+x^6+x^2+1}{x^8} = \dfrac{x^4+x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4} }{x^4} $ $=\dfrac{23+5}{x^4} = \dfrac{28}{x^4} $.....ไปหาค่า$x^4$ ต่ออีกทีจาก $x^4+\dfrac{1}{x^4} = 23$ ให้้$A=x^4$ จะได้ว่า$A+\dfrac{1}{A} = 23 \rightarrow A^2-23A+1=0$ $A= \dfrac{23\pm \sqrt{23^2-4} }{2} = \dfrac{23\pm \sqrt{525} }{2}$ $A= x^4=\frac{23}{2} \pm \frac{5\sqrt{21} }{2} $ $\dfrac{x^8+x^6+x^2+1}{x^8} =\dfrac{28}{x^4} $ ถ้า$x^4=\frac{1}{2}(23+5\sqrt{21} ) $ $\dfrac{x^8+x^6+x^2+1}{x^8} =\dfrac{28\times 2}{23+5\sqrt{21}} $ $\dfrac{x^8+x^6+x^2+1}{x^8}= 14(23+5\sqrt{21})$ ถ้า$x^4=\frac{1}{2}(23-5\sqrt{21} ) $ $\dfrac{x^8+x^6+x^2+1}{x^8}= 14(23-5\sqrt{21})$ ขอติดในรูปรูทก่อน...ไม่เห็นได้คำตอบเป็นจำนวนเต็มเหมือนที่โจทย์ต้องการเลย...หรือผมคิดผิด ขอตัวก่อน ถ้าคืนนี้เครื่องไม่น๊อค หลังจากอดนอนมาสองวัน จะเข้ามาแจมครับ |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
ขอโทษจริงๆนะครับ ผมรีบไปหน่อยครับ T^T |
อย่างนั้นข้อนี้ก็ตอบว่า$28$
ไม่เป็นไรครับ แค่ทำข้อสอบให้ทันก็แทบจะหมดแรงแล้ว นี่ยังใจดีช่วยจำโจทย์มาแบ่งปันสมาชิกMC ก็ถือว่าเยี่ยมแล้วครับ :great::great::great: |
คือมีอีกข้อนึงเป็นวงกลมน่ะครับ ข้องใจมากๆเลย
ไม่ทราบว่ามีโปรแกรมที่ไว้ใช้ทำรูปทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะเลยรึเปล่าครับ |
แสดงวิธีทำข้อ 1
ให้ $P(x)=Ax^2+Bx+C$ จาก 1) จะได้ว่า $C=0$ $\therefore P(x)=Ax^2+Bx$ จาก 1) และ 2) จะได้ $P(a)+1=P(a+1)$ $Aa^2+Ba+1=Aa^2+(2A+B)a+A+B$ $\therefore A=0,B=1,a=0$ $\therefore P(x)=x$ $\therefore P(a+2)+P(a+1)=P(2)+P(1)=2+1=3$ ไม่รู้ถูกหรือเปล่านะครับ:sweat: |
ข้อ 2
เราสามารถ เขียน ความสัมพันธ์ ระหว่าง x,y ได้คือ $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2} , \dfrac{1}{x} = \dfrac{y-2}{2y} ,\dfrac{1}{y}+\dfrac{x-2}{2x}$ โดย $y-2 \left|\,\right. 2y , x-2 \left|\,\right. 2x$ $\dfrac{2y}{y-2}, \dfrac{2x}{x-2} \in \mathbb{Z} $ $2+\dfrac{4}{y-2} ,2+\dfrac{4}{x-2} \in \mathbb{Z} $ ตัวประกอบทั้งหมดของ $4$ คือ $-4,4,2,-2,1,-1$ $y-2 = -4 , y= -2$ $y-2 = 4 , y=6$ $y-2 = 2 , y=4$ $y-2 = -2 , y = 0$ ใช้ไม่ได้ $y-2 = 1 $ ,$y=3$ $y-2 = -1$ , $y= 1$ คงต่อได้แล้วนะครับ |
ข้อ 3
ไม่แน่ใจเหมือนกันครับ เราต้องการหาจำนวนตั๋วซึ่งทำให้เงินมีค่ามากที่สุด นั่นคือ ให้ $A$ แทน ราคาตั๋วที่เพิ่มขึ้น เขียนรูปแบบทั่วไปคือ $(50+A)(10000-20A) = -20A^2 + 9000A + 500000$ ใช้สูตร $A = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-9000}{2(-20)}$ $A$ มีค่ามากสุดคือ $225$ ราคาตั๋วที่มากที่สุดคือ $225+50 = 275$ บาท ผิดขออภัยด้วย :please: |
อ้างอิง:
ผมก็คิดได้ 275 เหมือนกัน |
อ้างอิง:
|
ข้อ3
ถ้าเราให้จำนวนเงินเพิ่มขึ้นnครั้ง ครั้งละ5บาท จำนวนคนก็จะลดลงครั้งละ100nด้วย จึงตั้งสมการว่า (50+5n)(10000-100n)=-$n^2$+90n+1000 จะมีค่ามากสุดเมื่ออนุพันธ์อันดับสองมีค่าเป็นลบ ซึ่งสมมติy=-$n^2$+90n+1000 y'=-2n+90 y''=-2 ซึ่งอนุพันธ์อันดับสองให้ค่าติดลบจึงมีค่ามากสุดเป็นความจริงดังนั้นจึงหันไปดูอนุพันธ์อันดับหนึ่งซึ่งจากการหาอนุพันธ์อับดับหนึ่ง y'=-2n+90 จะเท่ากับศูนย์จึงได้ค่าสูงสุด -2n+90=0 n=45 ดังนั้นเมื่อn=45จำนวนเงิน=50+5(45)=275บาท ตอบ 275บาท หรือข้อนี้ก็ตั้งสมการแล้วใช้พาราโบล่าหาค่าxโดยสูตร x=-b/2aก็จะได้คำตอบเดียวกันครับ |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 17:59 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha