ข้อสอบ IWYMIC 2008
 

ประเภทบุคคล http://www.taimc2012.org/problem/200...Individual.pdf
ประเภททีม http://www.taimc2012.org/problem/2008-IWYMIC-Team.pdf
:please::please::please::please:

ข้อ 1 ประเภทบุคคล section B นะครับ

ข้อ 2,3,4,9 นะครับ

มาต่อข้อ 1,5,7 นะครับ :)

Attachment 9725

Attachment 9726

Attachment 9727

Attachment 9728

Attachment 9729

Attachment 9730

Attachment 9731

Attachment 9732

Attachment 9733

Attachment 9734

Attachment 9735

Attachment 9736

Attachment 9737

Attachment 9738

Attachment 9739

Attachment 9740

Attachment 9741

Attachment 9742

Attachment 9743

Attachment 9744

Attachment 9745

Attachment 9746

Attachment 9747

Attachment 9748

Attachment 9749

Attachment 9750

Attachment 9751

Attachment 9752

Attachment 9753

Attachment 9754

Answer 34

Attachment 9755

$\frac{CE}{1} = tan60^\circ = \sqrt{3} \ \to \ CB = 2\sqrt{3} $

$\frac{CF}{CB} = sin60^\circ = \frac{\sqrt{3} }{2} \ \to \ CF = 3 = BD$

$\frac{FB}{CB} = cos60^\circ = \frac{1}{2} \ \to \ FB = \sqrt{3} \ \to \ AB = 2\sqrt{3} $

$AD^2 = AB^2 + BD^2 = (2\sqrt{3} )^2+(3)^2 = 21$

$AD = \sqrt{21} $

$\frac{p}{q}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ ซึ่งเมื่อทอนเป็นทศนิยมแล้วจะมีรูปแบบเป็น 0.abababab...
ซึ่ง a และ b อาจเหมือนกันก็ได้ แต่ถ้าเหมือนกัน จะไม่เป็น 0 ทั้่งคู่
จงหาค่าต่างๆของ p

1/3
2/3
1/9
2/9
4/9
5/9
7/9
8/9

p = 1, 2, 4, 5, 7, 8

เลข 5 หลักที่มีเลขโดด 3 อย่างน้อย 1 ตัว มีกี่จำนวน

เลข 5 หลักมีทั้งหมด 9x10x10x10x10 = 90,000 จำนวน

เลข 5 หลักที่ไม่มีเลข 3 เลย มี 8x9x9x9x9 = 52,488 จำนวน

ดังนั้นเลข 5 หลักที่มีเลข 3 อย่างน้อย 1 ตัว มี 90,000 - 52,488 = 37,512 จำนวน

A-B-C-D เป็นส่วนของเส้นตรงที่ขนานกับด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้า และแบ่งครึ่งสี่เหลี่ยมผืนผ้า
E เป็นจุดบนเส้นรอบรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งทำให้ AE แบ่งครึ่งพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าเช่นกัน
ถ้า AB=30, BC=24 และ CD=10 แล้ว DE ยาวเท่าไร

Attachment 9758
จากรูป จะได้ว่า พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู CDEF = พื้นที่สามเหลี่ยม ABF

Attachment 9759

โดยสามเหลี่ยมคล้าย
$\frac{y}{24-x} = \frac{3}{4}$...(1)

พื้นที่สามเหลี่ยม ABF = พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู CDEF
$\frac{1}{2} \cdot y \cdot 30 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (x+24-y)$...(2)

จาก (1),(2) จะได้ x = 12

กระจกแนวตั้งสองบานทำมุมกัน 30 องศา แสงจากจุดกำเนิด s ส่องขนานกับ กระจก WV
ตกกระทบกระจก UV ที่จุด A แล้วสะท้อนตกกระจก WV ที่จุด B แล้วสะท้อนอีกทีไปที่กระจก UV ที่จุด C
จากนั้นก็สะท้อนกลับไปที่จุดกำเนิดแสง S ถ้า SA = AV = 1
แล้วระยะทางทั้งหมดที่แสงเดินทางเท่ากับเท่าไร

โดยกฏมุมตกเท่ากับมุมสะท้อนจะได้มุมดังภาพ
Attachment 9760

AB = BV (สามเหลี่ยมหน้าจั่ว)
DB = BC (สามเหลี่ยมเท่ากันทุกประการ)
จะได้ AB + BC = BV+BD = DV

DV = cos$60^\circ = \frac{\sqrt{3} }{2}$

ดังนั้นขามาเท่ากับ $1 + \frac{\sqrt{3} }{2} \ $ และขากลับ เท่ากับ $ \ 1 + \frac{\sqrt{3} }{2}$
(After that, it goes back to S)

รวม $2 + \sqrt{3}$

ขออนุญาตแย้งคุณลุงนะครับ คือโจทย์ข้อนี้ต้องการทราบจำนวน p ทั้งหมดมีกี่ตัว (p=จำนวนเต็ม) ซึ่ง p ไม่ซ้ำกัน
p ตัวนี้เกิดจากการทำให้ $\frac{p}{q}$ =0.abababab...... เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
วิธีทำมี 4 ขั้นตอน ดังนี้ (เวลาสอบแข่งขันต้องแสดงวิธีทำ พอสังเขป)
ขั้นตอนที่ 1
$\frac{p}{q}$ =0.abababab...... (1)
100$\frac{p}{q}$ =ab.abababab...... (2)
(2)-(1) $\frac{p}{q}$ =$\frac{ab}{99}$.............. (3)
ดังนั้น ab มีค่าเป็นไปได้ทั้งหมด 99 ตัว เมื่อส่วนเป็น 99 ( 5 คะแนน)

ขั้นตอนที่ 2
set ของสมการ (3) $\frac{p}{q}$={ $\frac{1}{99}$, $\frac{2}{99}$, $\frac{3}{99}$, $\frac{4}{99}$,$\frac{5}{99}$,$\frac{6}{99}$,$\frac{7}{99}$,$\frac{8}{99}$,$\frac{9}{99}$,$\frac{10}{99}$,...,$\frac{27}{99}$,.. ...,$\frac{54}{99}$,.....,$\frac{81}{99}$,......., $\frac{98}{99}$,$\frac{99}{99}$ } ......(4)
แต่ 99 = 3x3x11
แสดงว่า $\frac{p}{q}$ สามารถทำเป็นเศษส่วนจากพหูนามของ 3 , 11 และ 33 ดังนี้
พหุนามของ 3 =$\frac{p}{q}$={ $\frac{3}{99}$, $\frac{6}{99}$, $\frac{9}{99}$, $\frac{12}{99}$,$\frac{15}{99}$,$\frac{18}{99}$,$\frac{21}{99}$,......., $\frac{96}{99}$,$\frac{99}{99}$ } ทั้งหมด 33 ตัว .......(5)
พหุนามของ 11 =$\frac{p}{q}$={ $\frac{11}{99}$, $\frac{22}{99}$, $\frac{33}{99}$, $\frac{44}{99}$,$\frac{55}{99}$,$\frac{66}{99}$,$\frac{77}{99}$,$\frac{88}{99}$,$\frac{99}{99}$ } ทั้งหมด 9 ตัว ......(6)
พหุนามของ 33 =$\frac{p}{q}$={ $\frac{33}{99}$, $\frac{66}{99}$, $\frac{99}{99}$} ทั้งหมด 3 ตัว ......(7)
(5),(6) และ (7) สามารถทำเป็นเศษส่วนอย่างต่ำได้ 33+9-3 =39 ตัว (บางตัวซ้ำกัน)
ดังนั้น จึงเหลือ $\frac{p}{q}$=99-39 = 60 ตัว ( 10 คะแนน)
ขั้นตอนที่ 3
จาก (4) สังเกตุ ค่า p ที่เหลือ จากการตัดพหุคูณของ 3 ,11 และ 33 ออกไปแล้ว ปรากฏว่า
p={1,2,4,5,7,8,10,13,14,16,17,19,20,23,25,26,...........,98} ทั้งหมด 60 ตัวจากขั้นตอนที่ 2 .........(8)

เมื่อทำ (5),(6) และ (7) เมื่อทำเป็นเศษส่วนอย่างต่ำแล้วพบว่า
เศษส่วนบางตัว ทำเป็นเศษส่วนอย่างต่ำแล้ว ทำให้ p มีค่าซ้ำกัน กับที่มีใน (8) (จึงตัดทิ้งได้)
แต่มีพหุคูณของ 27 คือ {$\frac{27}{99}$,$\frac{54}{99}$,$\frac{81}{99}$ } ได้
={$\frac{3}{11}$,$\frac{6}{11}$,$\frac{9}{11}$ }
ซึ่งทั้ง 3,6 และ 9 ไม่มีใน (8) ( 20 คะแนน)
ขั้นตอนที่ 4

ดังนั้น P ทั้งหมดที่ไม่ซ้ำกันจึงมี =60+3 = 63 ตัว ( 5 คะแนน) ตอบ
Answer oly , 10 คะแนน

:great: :great: :great:

ขอบคุณครับ ไม่นึกว่ามันจะซับซ้อนขนาดนี้