รูปทั่วไปของ Partition Function
 

Partition Function คือฟังก์ชัน $p(n)$ สำหรับ $n \in I^+$ นิยามดังนี้
$p(n) = จำนวนวิธีในการเขียนการบวกกันของจำนวนเต็มที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ n และผลบวกนั้นเท่ากับ n (ไม่สนใจการสลับที่)$
(ดูรายละเอียดเพิ่มเติมที่ http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_(number_theory) ครับ)

เช่น
$p(3) = 3$ เพราะว่า $3 = 1+1+1 = 2+1 = 3$ (3 วิธี)
$p(4) = 5$ เพราะว่า $4 = 1+1+1+1 = 2+1+1 = 2+2 = 3+1 = 4$ (5 วิธี)

ผมไม่แน่ใจว่ามีใครพบรูปทั่วไปของฟังก์ชันนี้ก่อนหน้านี้หรือยัง ถ้ามีแล้วก็ขออภัยด้วยครับ

ก่อนอื่นนิยามฟังก์ชัน:
$p(n,k) = จำนวนวิธีในการเขียนการบวกกันของจำนวนเต็มที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ k และผลบวกนั้นเท่ากับ n (ไม่สนใจการสลับที่) (n, k \in I^+)$

จะเห็นว่า $p(n) = p(n,n)$

รูปทั่วไปของฟังก์ชันนี้ที่พบเป็นดังนี้ครับ

$p(n,k) = \cases{1 & เมื่อ n = 1 หรือ k = 1
\cr \sum_{i = 1}^{k} p(n - i, i) & เมื่อ 1 < k < n
\cr 1 + p(n, n - 1) & เมื่อ k \geqslant n}$

และ
$p(n) = p(n,n) = \cases{1 & เมื่อ n = 1 \cr 1 + p(n,n - 1) & เมื่อ n > 1}$

สำหรับที่มาจะเอามาแสดงในโอกาสหน้านะครับ

น่าสนใจดีครับ ผมจะรออ่านต่อนะครับ

ที่มาครับ

ผมลองคิดใหม่ เปลี่ยนรูปสูตรให้ดูง่ายกว่าเดิมและเอาเงื่อนไขออก ได้สูตรนี้ครับ

$p(n) = p(n - 1, 1) + p(n - 2,2) + p(n - 3,3) + ... + p(0, n)$

และ

$p(n, k) = p(n - 1, 1) + p(n - 2,2) + p(n - 3,3) + ... + p(n - k,k) เมื่อ n,k > 0$
$p(0, k) = 1 เมื่อ k > 0$
$p(n, k) = 0 เมื่อ n < 0 หรือ k < 1$

**$n,k$ เป็นจำนวนเต็ม

อยากทราบว่า พอจะมีโอกาสที่ $p(n)$ จะมีสูตรทั่วไป ที่ไม่ติด $p(n,k)$ รึเปล่าครับ

เห็นสูตรใน Wikipedia ครับ http://en.wikipedia.org/wiki/Partiti...#Exact_formula

$p(n) = \sum_{k}^{} (-1)^{k-1} p(n - k(3k - 1)/2) $

การรวมผลบวก (ตรง k) รวมทั้งบวกและลบไปพร้อมกันในแต่ละลูปครับ ถ้าค่า n ที่จะใช้ใส่ใน p(n) เป็นลบ ก็หยุดลูป เพราะถือว่าได้ค่า 0 บวกเพิ่มเข้าไปอีกก็ไม่เพิ่มค่าขึ้นครับ
ผมลองเขียนโปรแกรมตามสูตร มันคำนวณได้ถูกครับ
หรือว่าถ้าเขียนสูตรใหม่ ก็น่าจะได้

$p(n) = \sum_{k=1}^{\infty} ((-1)^{k-1} p(n - k(3k - 1)/2)) + ((-1)^{-k - 1} p(n + k(-3k - 1)/2))$
หรือ
$p(n) = \sum_{k=1}^{\infty} ((-1)^{k-1} p(n - k(3k - 1)/2)) + ((-1)^{k+1} p(n - k(3k + 1)/2))$

ผมคิดว่าเป็นไปได้ครับ เราสามารถหาสมการทั่วไป จากความสัมพันธ์ของอัตราการขยายตัวของพาร์ติชันได้ครับแต่สมการทั่วไปจะถูกแบ่งเป็นช่วงๆ โดยพิจารณาจาก Pentagonal number theorem
$\sum _{k=1}^ \frac{n}{2} \delta _k\left[\,\right. n-\left(\,\right. k-1\left.\,\right) 2\left.\,\right] $- $\sum _{k=2}^ \frac{n}{2}\delta _k$

โดยที่ $\delta _k=\delta _{k-1}+\delta _{k-2} และ \delta _1,\delta _2=1 $ นี้เป็นสำหรับสมการที่ผมเขียนขึ้นมาโดยอธิบายแนวคิดเรื่องระดับพาร์ติชันในระดับที่ 1 ซึ่ง p ในระดับนี้อยู่ที่ $1\leqslant x\leqslant 8 $ สำหรับ n ที่สูงขึ้นไป $ \geqslant 8$ สมการจะเปลี่ยนไปครับ
ปล.ปวดหัวกับ LaTex มากคับ