ผลบวกของอนุกรมสนุกๆ
จงหาค่าผลบวกของอนุกรมต่อไปนี้
ข้อ 1. $$51+53+55+57++59+...+199$$ ข้อ 2. $$\frac {3}{1\times2^2} +\frac{5}{2^2\times3^2}+\frac{7}{3^2\times4^2}+\frac{9}{4^2\times5^2}+...+\frac{199}{99^2\times100^2}$$ ข้อ 3. $$\frac {1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{9999}+\sqrt{10000}}$$ ข้อ 4. $$\frac {1}{2+\sqrt{2}} + \frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}} + \frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+\frac{1}{5\sqrt{4}+4\sqrt{5}}+...+\frac{1}{10000\sqrt{9999}+9999\sqrt{10000}}$$ |
นั่งดูเล่นๆ มีง่าย 2 ข้อครับ
ข้อ 1 ตอบ 9,375 ถ้าจำไม่ผิด ข้อ 3 ตอบ 99 ใช่ไหมครับ |
อ้างอิง:
ข้อ 2 ใช้ Telescopic เทคนิค จัดรูปเป็น $1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{99^2}-\frac{1}{100^2} $ ข้อ 3,4 คูณด้วยสังยุคของมันแล้วจัดรูปก็จะได้แล้วครับ ps. คุณ Puriwatt ควรใช้ \times แทน x ในการคูณนะครับ |
ข้อ 1 ผมทำงี้นะครับ จากสูตรผลบวกจำนวนคี่ $=\frac{(ต้น+ปลาย)}{2}\times(a)$
PS.เมือ $a=\frac{ปลาย-ต้น}{2}+1$ อ่ะครับ งั้นข้อ 2 ก็คงตอบ 10,001 ใช่ไหมครับ |
ข้อ 1. ถ้าใช้วิธีของคุณ Kanakon จะง่ายกว่าครับ (ได้$100^2-25^2$ = 10,000-625 = 9,375)
ข้อ 2. คำตอบไม่ถูกครับ(ถ้าคิดต่อจากคุณ Kanakon แล้วจะได้คำตอบที่ถูกครับ) ข้อ 3. ตอบ 99 ถูกต้องครับ (แนวเดียวกับ ข้อสอบสพฐ.ข้อ 30 ครับ ) |
|
\frac{1}{11}-\frac{1}{1100}+\frac{1}{111}-\frac{1}{111000}+\frac{1}{1111}-\frac{1}{11110000}+...
=\frac{100-1}{1100}+\frac{1000-1}{111000}+\frac{10000-1}{11110000}+... =\frac{99}{1100}+\frac{999}{111000}+\frac{9999}{11110000}+... =\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\frac{9}{10000}+... จากสูตรผลบวกอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ จะได้ผลบวกคือ 9(\frac{\frac{1}{100}}{1-\frac{1}{10}}) ซึ่งเท่ากับ 9(\frac{\frac{1}{100}}{\frac{9}{10}}) = 9\frac{1\times10}{100\times9} = \frac{1}{10} |
อ้างอิง:
|
ง่ายๆครับ ข้อ 1 กับ 2 อนุกรมธรรมดาครับ
ข้อ 3 Conjugate ลูกเดียวครับ ข้อ 4 Conjugate เช่นเดียวกันและหาความสัมพันธ์ของตัวส่วนครับ 2 6 12 ..... |
มาเติมโจทย์ให้ครับมีทั้งง่ายและยากปนกันไป เผื่อใครว่างๆ และเบื่อๆ อยากทำแต่ไม่รู้จะสนุกเหมือนหัวข้อหรือเปล่า:unsure:
โจทย์ทั้งหมดมาจากหนังสือ Mathematical Olympiad Challenge นะครับ Evaluate หรือ จงหาค่านิพจน์ต่อไปนี้ 1. $$\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}} $$ 2. $$\prod_{n = 2}^{\infty} \left(1-\frac{1}{n^2} \,\right) $$ 3. $$\sum_{k = 1}^{n}k!(k^2+k+1)$$ 4. $$\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{6^k}{(3^k-2^k)(3^{k+1}-2^{k+1})} $$ 5. Let $F_n$ is Fibonacci sequence $$a)~~~~\sum_{n = 2}^{\infty}\frac{F_n}{F_{n-1}F_{n+1}}$$ $$b)~~~~\sum_{n = 2}^{\infty}\frac{1}{F_{n-1}F_{n+1}}$$ 6. ข้อนี้เคยโพสท์ไว้แล้วนะครับแต่ผมเห็นมันสวยดีเลยอยากให้หลายๆคนลองทำดู$$\sqrt{1+\frac{1}{1^2} +\frac{1}{2^2} } +\sqrt{1+\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} }+...+\sqrt{1+\frac{1}{1999^2} +\frac{1}{2000^2} }$$ 7. $$\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{F_{2^n}}$$ หวังว่าทุกคนคงสนุกนะครับ:aah::died: |
จงหาผลบวกของอนุกรมต่อไปนี้ ข้อ 1 $$51+53+55+57+59+...+199$$ ให้ $A_{1}=51+53+55+57+59+...+199$ และ $~~~A_{2}=199+...+59+57+55+53+51$ และเนื่องจาก $A_{1}=A_{2}=K$ จะได้ $~~2K=250+250+250+250+250+...+250$ จากนั้นเราจะหาว่า $A_{1}$ หรือ $A_{2}$ มีกี่พจน์ จาก $$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$$ $199=51+(n-1)2$ แก้สมการจะได้ $n=75$ ฉะนั้นจาก $2K=250+250+250+250+250+...+250$ จะได้ว่า $2K=75(250)$ แก้สมการได้ $K=A_{1}=A_{2}=9375$ $\diamond$ |
Telescopic technique |
อ้างอิง:
2. $\frac{1}{2} \because lim_{x \rightarrow \infty}(\frac{x+1}{2x}) = \frac{1}{2}$ 3. $(n+1)!(n+1)-1$ (พิจารณา $(k+1)(k+1)!-k(k)!$) 4. $2$ (พิจารณา $\frac{3^k}{3^k-2^k}-\frac{3^{k+1}}{3^{k+1}-2^{k+1}}$) 6. $2000-\frac{1}{2000}$ |
ข้อ 5
$$a)~~\frac{F_n}{F_{n-1}F_{n+1}}=\frac{1}{F_{n-1}}-\frac{1}{F_{n+1}} $$ $$b)~~\frac{1}{F_{n-1}F_{n+1}}=\frac{1}{F_{n-1}F_n}-\frac{1}{F_nF_{n+1}}$$ |
สงสัยจะไม่ค่อยสนุกแล้วละครับ (แต่คงสะใจพวกชอบความโหดไม่น้อย)
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 18:56 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha