ข้อสอบ สอวน ปี 2556 ค่ายหนึ่ง ที่สวนกุหลาบ
 

ข้อสอบสอวนค่ายหนึ่ง
เรขาคณิต
1.จงอธิบายขั้นตอนการสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสให้มีพื้นที่เท่ากับรูปที่กำหนดให้

2.ให้ P เป็นจุดภายในสามเหลี่ยม ABC ที่ส่วนต่อของ AP,BP,CP ตัดด้าน BC,AC,AB ที่จุด D,E,F ตามลำดับถ้ารูปสี่เหลี่ยม ACDF และรูปสี่เหลี่ยม BCEF เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีวงกลมล้อมรอบได้ จงพิสูจน์ว่าสี่เหลี่ยม PDBF เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีวงกลมล้อมรอบ

3. จงใช้ ทบ เชวา พิสูจน์ว่าเส้นแบ่งครึ่งมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมจะตัดร่วมกันที่จุดๆหนึ่ง

4. ให้รูปสามเหลี่ยม ABC ที่มี I เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน ต่อ AI ไปตัดวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC ที่จุด P

4.1 จงแสดงว่า P เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสี่เหลี่ยม $ICI_aB$ เมื่อ $I_a$ คือจุดศูนย์กลางวงกลมแนบนอกสามเหลี่ยม ABC ที่อยู่ตรงข้ามมุม A
4.2 จงแสดงว่า $2 sin(B\hat I C)=\frac{BC}{PI}$

5. ให้สี่เหลี่ยม PQRS มีวงกลมแนบใน ซึ่งสัมผัสด้าน SP,PQ,QR,RS ที่จุดA,B,C,D ต่อด้าน AB ไปตัดกับด้าน SQ ที่จุด X จงแสดงว่าจุด C,D,X อยู่บนแนวเส้นตรงเดียวกัน

ถ้า x เป็นจำนวนจริงซึ่ง
$\left\lfloor\,x+\frac{11}{100} \right\rfloor+\left\lfloor\,x+\frac{12}{100} \right\rfloor+\left\lfloor\,x+\frac{13}{100} \right\rfloor+...+\left\lfloor\,x+\frac{99}{100}\right\rfloor=761$

จงหาค่าของ$\left\lfloor\,100x\right\rfloor $

2.1จงพิสูจน์ว่า $(x^2-y^2)^2+(2xy)^2=(x^2+y^2)^2$
2.2 จงหาจำนวนเต็มบวก x,y ทั้งหมดที่ทำให้ $x^2+y^2=34(x-y)$

3.ให้$\alpha $ และ$\beta $เป็นรากของสมการ $3x^2-(\alpha ^2+1)x+3=6(\alpha +\beta ) $จงหาค่าของ $\alpha +\beta $

4. ให้ $p(x)$ เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงซึ่ง
$. 2(1+p(x))=p(x-1)+p(x+1)$และ $p(0)=91,p(5)=166$
จงหา p(45)

อสมการ
1. กำหนดให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับสมการ $\frac{\left(\,a+\frac{1}{a} \right)\left(\,b+\frac{1}{b} \right)\left(\,c+\frac{1}{c} \right) }{abc}=8$
จงแสดงว่า $abc\geqslant 1$
2.กำหนดให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่ $n\geqslant 2$ และ $x_1,y_1,x_2,y_2,...,x_n,y_n$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่งสอดคล้องกับอสมการ $x_1+x_2+x_3+...+x_n\geqslant x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+...+x_ny_n
จงพิสูจน์ว่า
$$
x_1+x_2+x_3+...+x_n\leqslant \frac{x_1}{y_1} +\frac{x_2}{y_2}+\cdot \cdot \cdot +\frac{x_n}{y_n}$

3. กำหนดให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงบวก จงพิสูจน์ว่า
$a^3+b^3+c^3\geqslant \frac{1}{4}(a+b+c)^3-6abc$
4. กำหนดให้ a,b,c,d เป็นจำนวนจริงบวกและ $36a+4b+4c+3d=25$ จงพิสูจน์ว่า
$abcd(a+b+c+d)(ab^\frac{1}{2}c^\frac{1}{3}d^\frac{1}{4})\leqslant \frac{1}{\sqrt{6} } (a^4b+b^4c+c^4d+d^4a)$

ข้อ 4. พีชคณิต :)

ได้ $$2+ P(x)-P(x-1) = P(x+1)-P(x)$$

ให้ $m $เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ

$$\sum_{n = 1}^{m} [2+ P(x)-P(x-1)] = \sum_{n = 1}^{m}[ P(x+1)-P(x)]$$

$$2m + P(m) - P(0) = P(m+1)-P(1)$$

$$P(m+1)-P(m) = 2m+P(1)-P(0)$$

ให้ k เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ

$$\sum_{n = 1}^{k} [P(m+1)-P(m)] = \sum_{n = 1}^{k} [2m+P(1)-P(0)]$$

$$P(k+1)-P(1) = k(k+1) + k[P(1)-P(0)]$$

ดังนั้น $$P(k+1) = k^2+k+(k-1)P(1)-kP(0)$$

แทน $k=4$ จะได้ P(1) เอามาแทนค่า

แทน$ k=44 $ก็จะได้$ P(45)$ :)

$a+\dfrac{1}{a}\geqslant 2$

$b+\dfrac{1}{b}\geqslant 2$

$c+\dfrac{1}{c}\geqslant 2$

$\therefore \Big( a+\dfrac{1}{a} \Big) \Big( b+\dfrac{1}{b} \Big) \Big( c+\dfrac{1}{c} \Big) \geqslant 8$

$\therefore abc\geqslant 1$

#9 โหดมากๆเลยครับ ผมมองไม่ออกเลย:please::please::please::please:

5.ให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงใดๆซึ่ง a>2,b>6,c>12 และให้ $S=\frac{bc\sqrt{a-2}+ac\sqrt[3]{b-6}+ab\sqrt[4]{c-12} }{abc}$จงหาพร้อมพิสูจน์ค่าที่มากที่สุดของ S

ทฤษฎีจำนวน

5. จงหาจำนวนเต็มบวก n และจำนวนเฉพาะ p ทั้งหมดที่ทำให้ $n^p+3^p$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

ใครทำได้บ้างครับข้อนี้

ช่วยบอกผมหน่อย
ผมคิดได้ 849 ถูกมั้ยครับ
ขอบคุณครับผม