เรื่อง log และ limit
คืออยากทราบว่า
$\lim_{x \to \infty}f(x)=a^{\lim_{x \to \infty} log_a (f(x))}$ หรือไม่ครับ (with proof) :please::please: |
คือผมไปเจอ lecture อันหนึ่งมาอ่ะครับ
เขาบอกว่า $\lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n =e^{\lim_{x \to \infty} ln(1+\frac{1}{n})^n }$ อ่ะครับ คือตอนนั้นยังไม่รู้ว่า $(1+\frac{1}{n})^n=e$ |
$a\in (0,1)\cup (1,\infty)$
$f(x)>0$ $\forall x$ $log_a(\lim_{x \to \infty} f(x))=\lim_{x \to \infty} (log_af(x))$ $\lim_{x \to \infty} f(x)=a^{\lim_{x \to \infty} (log_af(x))}$ |
อ้างอิง:
|
ขอปลุกหน่อยครับ
|
ผมเองก็ไม่รู้จะ proof ยังไงนะครับ ไม่แม่นเรื่องทฤษฎีลิมิตด้วย
แต่ก็เห็นว่ามันเป็นจริงอยู่แล้วอ่ะครับ เพราะเรา take limit x-->$\infty$ เราก็สามารถแจกลิมิตเข้าไปในตัว $f(x)$ ได้เลยครับ รอผู้รู้อีกทีครับ:sung: |
มันเป็นสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่องครับ
ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แล้ว $\displaystyle{\lim_{n\to \infty} f(x_n) = f(\lim_{n\to\infty} x_n)}$ จากที่ถามมาก็ให้ $x_n=\ln{\Big(1+\dfrac{1}{n}\Big)^n}$ $f(x)=e^x$ ดังนั้น $\displaystyle{\lim_{n\to\infty} \Big(1+\dfrac{1}{n} \Big)^n=\lim_{n\to\infty}e^{\ln{(1+\frac{1}{n})^n}}}$ $\displaystyle{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\lim_{n\to\infty}f(x_n)}$ $\displaystyle{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=f(\lim_{n\to\infty} x_n)}$ $\displaystyle{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=e^{\lim_{n\to\infty}\ln{(1+\frac{1}{n})^n}}}$ |
#7
มีพิสูจน์สมบัตินี้ไหมครับ |
ตามนิยาม $f$ ต่อเนื่องที่จุด $x=a$ ถ้า $\displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)=f(a)}$
ข้อความนี้จะสมมูลกับข้อความที่ว่า สำหรับทุกลำดับ $x_n\to a$ เราจะได้ว่า $\displaystyle{\lim_{n\to \infty}f(x_n)=f(a)}$ เวลาเอาไปประยุกต์ใช้กับการหาลิมิตของลำดับเราจะอ้างอันแรกแล้วเอาอันที่สองไปใช้ครับ ส่วนบทพิสูจน์หาได้จากหนังสือ Real Analysis |
THX มากครับ
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 01:40 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha