พิสูจน์โดยใช้ MATRIX
กำหนดให้ $A, B, C$ แทนค่ามุมภายในสามเหลี่ยมเดียวกัน
ให้ ${x=cos(\frac{A-B}{2}), y=cos(\frac{B-C}{2}), z=cos(\frac{C-A}{2})}$ จงพิสูจน์ว่า ${x^4+y^4+z^4\leq1+2x^2y^2z^2}$ //บังคับใช้เมทริกซ์นะครับ รบกวนด้วยคร้าบ --ขอคารวะ-- |
$x^2$=$cos^2(\frac{a-b}{2})$=$\frac{cos(a-b)+1}{2}$
$\bmatrix{sina&cosa&1\\ sinb&cosb&1\\sinc&cosc&1}$$\bmatrix{sina&sinb&sinc\\ cosa&cosb&cosc\\1&1&1}$=$\bmatrix{2&2x^2&2z^2\\2x^2&2&2y^2\\2z^2&2y^2&2}$ $det\bmatrix{sina&cosa&1\\ sinb&cosb&1\\sinc&cosc&1}$$det\bmatrix{sina&sinb&sinc\\ cosa&cosb&cosc\\1&1&1}$=$det\bmatrix{2&2x^2&2z^2\\2x^2&2&2y^2\\2z^2&2y^2&2}$ จาก$det\bmatrix{sina&cosa&1\\ sinb&cosb&1\\sinc&cosc&1}$=$det\bmatrix{sina&sinb&sinc\\ cosa&cosb&cosc\\1&1&1}$ ดังนั้น $det\bmatrix{2&2x^2&2z^2\\2x^2&2&2y^2\\2z^2&2y^2&2}\ge0$ $det\bmatrix{1&x^2&z^2\\x^2&1&y^2\\z^2&y^2&1}\ge0$ $1+2x^2y^2z^2-x^4-y^4-z^4\ge0$ $\therefore1+2x^2y^2z^2\ge x^4+y^4+z^4$ |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 18:30 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha