การแก้สมการกำลังสาม (Cubic Equation)
 

การแก้สมการกำลังสาม (Cubic Equation)

บทความนี้เป็นการแก้ไขที่ผิด และปรับปรุงส่วนหนึ่งของบทความ เสริมประสบการณ์คณิตศาสตร์เรื่อง สมการกำลังสาม,สี่

สมการกำลังสามคือ สมการที่เขียนอยู่ในรูป $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$

น้องบางคนอาจเคยพบสมการกำลังสามเหล่านี้ และได้พยายามแก้ตามทฤษฎีที่ได้เรียนมาโดย ตั้งสมมติฐานว่าค่า $x$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ ตัวประกอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $d$ หารด้วยตัวประกอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $a$ หลังจากที่น้องได้ทำการแทนค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดเหล่านี้แล้วพบว่าสมการก็ยังไม่เป็นจริง หลายคนอาจสรุปทันทีว่าคำตอบของสมการนี้เป็นจำนวนเชิงซ้อน (กรณีนี้รวมถึงสมการที่มีกำลังมากกว่าสามด้วยนะครับ) นั่นเป็นความเข้าใจผิดอย่างเต็มที่เลยครับ ที่ว่าเข้าใจผิดอย่างเต็มที่ก็เพราะว่าในทฤษฎีกล่าวไว้แต่เพียงว่า คำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดเหล่านี้ ล้วนแต่เป็นคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดของจำนวนตรรกยะเท่านั้น จึงยังไม่ได้ครอบคลุมกรณีที่คำตอบจะเป็นจำนวนอตรรกยะ

ก่อนจะเข้าสู่เนื้อหา ขอย้อนอดีตถึงที่มาของบทความนี้กันก่อน เมื่อครั้งที่พี่ยังเรียนหนังสืออยู่ชั้นมัธยมศึกษาตอนปลายวิชาคณิตศาสตร์เรื่องระบบจำนวนจริงที่สอนให้เราแก้สมการพหุนามที่มีดีกรีมาก กว่าสองขึ้นไปได้ พี่รู้สึกทึ่งมากและคิดว่าเราแก้ได้ทุกสมการแล้ว ลองหาสมการจากแบบฝึกหัดในแบบเรียนและคู่มือคณิตศาสตร์ทั้งหลายมาแก้ก็แก้ได้ทั้งหมด ไม่เห็นมันยากตรงไหน แต่แล้วความรู้สึกชื่นชมก็หายไป หลังจากยังไม่หายร้อนวิชา ลองตั้งสมการพหุนามมั่วๆขึ้นมาดูเองซิว่าจะแก้ได้หรือเปล่า เช่น $x^3 + 2x - 6 = 0$ ฮ่าๆคำตอบของสมการนี้ต้องอยู่ในเซต $\{\pm1 , \pm2 , \pm3 , \pm6\}$ แน่ๆ แต่ทำไมลองแทนค่าทั้งหมดแล้วมันไม่ถูกต้องสักคำตอบ บัดนั้นพี่จึงรู้แจ้งถึงสัจธรรม นี่แสดงว่าสมการที่เราเคยพบและแก้มาทั้งหมด เป็นสมการพหุนามที่เขาเลือกมาแล้วว่าหาคำตอบด้วยวิธีในหนังสือเรียนได้ ส่วนสมการที่แก้ไม่ได้นอกจากจะไม่ได้ใส่ไว้ ยังไม่ได้บอกอีกว่ามีสมการพหุนามอีกเยอะที่แก้ด้วยวิธีนี้ไม่ได้ ที่แย่กว่านั้น พี่พบว่าไม่มีใครในชั้นเรียน (ถ้าจะพูดให้ถูกต้องกว่านี้คือ ในโรงเรียน) รู้ว่ามีสมการพหุนามที่แก้ไม่ได้ และแม้พี่จะแสดงสมการพหุนามเหล่านี้ให้เพื่อนๆดู แต่ละคนจะแสดงสายตาดูถูกประมาณว่า สมการกำลังสามง่ายๆแค่นี้ แก้กันไม่เป็นหรืออย่างไร หลังจากเพื่อนๆแก้กันไปพักใหญ่ก็เริ่มรู้แล้วว่าวิธีที่เรียนมาแก้ไม่ได้ ทุกคนยอมรับตามนั้นทันที โดยไม่มีใครสงสัยหรืออยากรู้เพิ่มเติมถึงวิธีแก้ แล้วน้องละครับอยากรู้วิธีแก้หรือเปล่าละ

เดิมทีเราเคยศึกษาการแก้สมการกำลังสองกันมาแล้ว แต่น้องทราบหรือไม่ว่ากว่าจะแก้สมการกำลังสามได้นี่เขาใช้เวลากันเป็นร้อยปีทีเดียว จนกระทั่งมีอัจฉริยะผู้หนึ่งกำเนิดขึ้นมา จำไม่ได้แล้วว่าชื่ออะไร อาจารย์ได้มอบหมายการบ้านในการแก้สมการกำลังสามแก่เขา ซึ่งเขาก็สามารถแก้ได้ การบ้านข้อนั้นคือให้แก้สมการกำลังสามที่อยู่ในรูป $x^3 + px + q = 0$ ถ้าน้องคนใดคิดว่าโจทย์ข้อนี้น่าสนใจหรือคิดว่าตัวเองก็เป็นอัจฉริยะเช่นกัน จะลองแก้โจทย์ข้อนี้ด้วยตัวเองดูก่อนก็ได้

น้องบางคนอาจเกิดความสงสัยได้ว่า รูปแบบของโจทย์ที่อาจารย์ให้มานี้กับรูปแบบของสมการกำลังสามที่เราจะแก้ มีรูปแบบไม่เหมือนกัน แล้วอย่างนี้จะถือได้ว่าสามารถแก้สมการกำลังสามในรูปแบบที่เราต้องการได้หรือ ก่อนที่จะแสดงให้เห็นจริงนั้นก็จะขอพูดถึงเรื่องการเปลี่ยนรูปของสมการพหุนามกันก่อน

การเปลี่ยนรูปพหุนาม

หากเราแทนค่า $x = y - c$ ลงไปในพหุนาม $a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ จะได้
$\begin{array}{rl}
& a_n x^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + a_{n - 2}x^{n - 2} + \cdots + a_2 x^2 + a_1x + a_0\\
= & a_n (y - c)^n + a_{n-1}(y - c)^{n - 1} + a_{n - 2}(y - c)^{n - 2} + \cdots + a_2 (y - c)^2 + a_1 (y - c) + a_0\\
= & a_n y^n + (-n a_n c + a_{n - 1}) y^{n - 1} + \left(\binom{n}{2} a_n c^2 - \binom{n - 1}{1} a_{n - 1} c + a_{n - 2}\right) y^{n - 2} + \cdots
\end{array}$

ไม่ต้องตกใจนะครับที่เห็นพหุนามที่ได้มันจะยุ่งๆ ในที่นี้เราให้ความสนใจเฉพาะเทอมของ $y^{n - 1}$ เท่านั้น
น้องจะพบว่าหากเราต้องการให้พหุนามใดๆก็ตามที่เปลี่ยนรูปแล้ว ทำให้เทอมของ $y^{n - 1}$ หายไป
ก็คือทำให้ค่า $-n a_n c + a_{n - 1} = 0$ หรือ $c = \frac{a_{n - 1}}{n a_n}$ นั่นเอง


ลองนำความรู้เรื่องการเปลี่ยนรูปมาใช้กับสมการกำลังสอง (Quadratic Equation) $ax^2 + bx + c = 0$
เพราะว่า $n = 2$ จะได้ $c = \frac{a_1}{2 a_2} = \frac{b}{2a}$
แทนค่า $x = y - \frac{b}{2a}$ ลงไป จะได้
$\begin{array}{rl}
ax^2 + bx + c & = 0 \\
a\left(y - \frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(y - \frac{b}{2a}\right) + c & = 0\\
ay^2 - by + \frac{b^2}{4a} + by - \frac{b^2}{2a} + c & = 0\\
ay^2 + \left(\frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c\right) & = 0\\
y^2 & = \dfrac{2b^2 - b^2 - 4ac}{4a^2}\\
y & = \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\end{array}$

เห็นไหมครับว่าสมการกำลังสองแก้ได้ง่ายขึ้นเยอะ
ถึงตรงจุดนี้เราจึงได้รากคำตอบของสมการกำลังสองคือ
$x = y - c = \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} - \frac{b}{2a} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
ตรงกับรูปแบบที่เรารู้จักดีนั่นเอง


เมื่อเรานำความรู้เรื่องการเปลี่ยนรูปมาใช้กับสมการกำลังสาม
เราสามารถเปลี่ยนรูปเพื่อให้เทอมของ $y^2$ หายไปได้เช่นเดียวกัน
โดยเลือกค่า $c = \frac{a_2}{3 a_3} = \frac{b}{3 a}$
แทนค่า $x = y - \frac{b}{3 a}$ ลงไปจะได้
$\begin{array}{rl}
ax^3 + bx^2 + cx + d & = 0\\
a\left(y - \frac{b}{3 a}\right)^3 + b\left(y - \frac{b}{3 a}\right)^2 + c\left(y - \frac{b}{3 a}\right) + d & = 0\\
ay^3 + \left(c - \frac{b^2}{3a}\right)y + \left(\frac{2b^3}{27a^2} - \frac{bc}{3a} + d\right)& = 0\\
y^3 + \left(\frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2}\right)y + \left(\frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a}\right)& = 0
\end{array}$

เห็นไหมครับว่าสมการเปลี่ยนมาอยู่ในรูปแบบ $y^3 + py + q = 0$ เรียบร้อยแล้ว
โดยมีค่า $p = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2}$ และ $q = \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a}$

การแก้สมการ $y^3 + py + q = 0$

ทีนี้ก็มาถึงการแก้ปัญหาที่อาจารย์ให้มาสักที การแก้ปัญหานี้ทำได้หลายวิธี
วิธีหนึ่งในการแก้สมการนี้คือ สมมติให้ $y = u + v$
แทนค่าลงไปจะได้ $u^3 + v^3 + (p + 3uv)(u + v) + q = 0$

เราจะลดความยุ่งยากของสมการลงโดยการทำให้เทอมที่สามหายไป โดยใช้การกำหนดเงื่อนไขทำให้เทอมที่สามหายไป
นั่นคือเราต้องการให้ $p + 3uv = 0$ หรือ $uv = -\frac{p}{3}$
จะได้ $u^3 + v^3 + 0 \cdot (u + v) + q = 0$ หรือ $u^3 + v^3 = -q$
หากเราสามารถแก้สมการหาค่า $u$ และ $v$ ออกมาได้ ก็จะหาค่า $y$ ได้
ซึ่งถ้าสังเกตให้ดีจะพบว่าจากเงื่อนไข $uv = -\frac{p}{3}$ หรือ $u^3v^3 = -\frac{p^3}{27}$ และ $u^3 + v^3 = -q$
เห็นรูปแบบคุ้นๆไหม :rolleyes: ผลคูณของสองจำนวน($u^3 \cdot v^3$)ได้ค่าหนึ่ง และผลบวกของสองจำนวน($u^3 + v^3$)ได้ค่าหนึ่ง
นี่คือรากคำตอบของสมการกำลังสอง $t^2 - (u^3 + v^3)t + u^3v^3 = 0$ หรือ $t^2 + qt - \frac{p^3}{27} = 0$ นั่นเอง :)

เพราะว่ารากคำตอบของสมการกำลังสองคือ $t = -\frac{q}{2} \pm \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}$

โดยไม่เสียนัยทั่วไป เราสามารถกำหนดให้
$u^3 = -\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}$ จะได้ $u = \left(-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}$
และ $v^3 = -\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}$ จะได้ $v = \left(-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}$
ดังนั้น $y = u + v = \left(-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}} + \left(-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}$
และ $x = y - c = \left(-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}} + \left(-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}} - \frac{b}{3 a}$


วิเคราะห์รากคำตอบ

เรื่องราวทั้งหมดน่าจะจบลงตรงนี้หากเราสนใจเพียงแค่รู้ว่ามีวิธีการแก้สมการกำลังสาม
แต่ในการนำสูตรนี้ไปใช้งานยังมีปัญหาหลายประการ เราลองมาวิเคราะห์กันอีกสักหน่อย :rolleyes:

เนื่องจากรากที่ $3$ ของจำนวนเชิงซ้อนมีทั้งหมด $3$ ค่า เราจึงมีค่า $u$ และ $v$ ที่เป็นไปได้อย่างละ $3$ ค่า
นั่นหมายความว่าเราจะได้ค่าของ $y$ ที่เป็นไปได้ $3 \times 3 = 9$ ค่า หรือมีค่า $x$ ที่เป็นไปได้ 9 ค่า อย่างนั้นหรือ :confused:

เราไม่สามารถเลือกคู่ $u , v$ ได้อย่างอิสระ ค่าที่เลือกมาต้องสอดคล้องกับเงื่อนไข $uv = -\frac{p}{3}$ ด้วย
สมมติว่า $u = A$ และ $v = B$ เป็นคู่หนึ่งที่ทำให้ $uv = AB = -\frac{p}{3}$

เพื่อความสะดวกในการเขียนสัญลักษณ์
กำหนดให้ $\omega$ เป็นคำตอบของสมการ $\omega^3 = 1$ โดยที่ $\omega \neq 1$ ($\omega = \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} , \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}$)
($\omega$ มี $2$ ค่า เลือกค่าไหนก็ได้)

เพราะว่าค่า $u$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ $u = A , \omega A , \omega^2 A$
และค่า $v$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ $v = B , \omega B , \omega^2 B$
จับคู่ผลคูณ $uv$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด จะพบว่ามีเพียง 3 ค่าที่แตกต่างกันเท่านั้นคือ $AB , \omega AB , \omega^2 AB$

เนื่องจาก $AB = -\frac{p}{3}$ เป็นจำนวนจริง ในขณะที่ $\omega AB , \omega^2 AB$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน ค่าเหล่านี้จึงใช้ไม่ได้
(ยกเว้นกรณี $p = 0$ ซึ่งเราไม่สนใจ เพราะหาคำตอบได้ง่ายว่า $y = -q^{\frac{1}{3}}$)

ดังนั้น คู่ $u , v$ ที่ทำให้ได้ $uv = -\frac{p}{3}$ จึงเป็น $(A , B) , (\omega A, \omega^2 B) , (\omega^2 A , \omega B)$ เพียง $3$ คู่เท่านั้น
จึงได้ว่า $y = \left(-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}} + \left(-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}} = \cases{A + B\cr \omega A + \omega^2 B\cr \omega^2 A + \omega B}$ เพียง $3$ ค่าเท่านั้น (ไม่ใช่ $9$ ค่าอย่างที่ตั้งข้อสังเกตไว้ตอนแรก)


พิจารณาค่าของ $\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}$

ค่าของ $\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}$ บอกอะไรเราหลายอย่างเกี่ยวกับรากคำตอบของสมการ
(คล้ายๆกับ $b^2 - 4ac$ ในสมการกำลังสอง :))


กรณี $\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4} \geqslant 0$ หรือ $4p^3 + 27q^2 \geqslant 0$

จะพบว่า $A = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}}$
และ $B = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}}$
สอดคล้องกับเงื่อนไข $u^3 + v^3 = A^3 + B^3 = -q$ และ $uv = -\frac{p}{3}$
ดังนั้นจะได้ $y = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}}$ เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ

ส่วนรากคำตอบอีกสองค่าที่เหลือก็คือ
$\omega A + \omega^2 B = \left(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}\right)A + \left(\cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}\right)B = -(A+B)\cos \frac{\pi}{3} + i(A-B)\sin \frac{\pi}{3}$
และ $\omega^2 A + \omega B = \left(\cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}\right)A + \left(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}\right)B = -(A+B)\cos \frac{\pi}{3} - i(A-B)\sin \frac{\pi}{3}$
เป็นคู่จำนวนเชิงซ้อนสังยุค โดยที่ผลคูณของสองค่านี้คือ
$\begin{array}{rl}
(\omega A + \omega^2 B)(\omega^2 A + \omega B) & = A^2 + \omega^2 AB + \omega AB + B^2 = A^2 + B^2 + (\omega^2 + \omega + 1)AB - AB \\
& = A^2 + B^2 + 0 \cdot AB - AB = A^2 + B^2 - AB
\end{array}$

เราสามารถพิสูจน์ในทางย้อนกลับได้อีกด้วยว่า รากคำตอบที่เป็นคู่จำนวนเชิงซ้อนสังยุคและจำนวนจริงหนึ่งค่า จะอยู่ในกรณีนี้ทั้งหมด
สมมติว่า รากคำตอบที่เป็นคู่จำนวนเชิงซ้อนคือ $a + bi , a - bi$ จะมีรากคำตอบที่เป็นจำนวนจริงคือ $-2a$ (เพราะว่าผลรวมของรากคำตอบทั้งหมดต้องเป็นศูนย์)
สร้างเป็นสมการกำลังสามได้ดังนี้
$\begin{array}{rl}
(y - (a+bi))(y - (a-bi))(y +2a) & = 0\\
y^3 + (b^2 - 3a^2)y + (2a^3 + 2ab^2) & = 0
\end{array}$
จะได้ $p = b^2 - 3a^2$ และ $q = 2a^3 + 2ab^2$
เราพบว่า $4p^3 + 27q^2 = 4(b^2 - 3a^2)^3 + 27(2a^3 + 2ab^2)^2 = 4b^2(9a^2 + b^2)^2 \geqslant 0$ เสมอ


กรณีเฉพาะ $\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4} = 0$ หรือ $4p^3 + 27q^2 = 0$

จะพบว่า $A = B = -\sqrt[3]{\frac{q}{2}}$
สอดคล้องกับเงื่อนไข $u^3 + v^3 = A^3 + B^3 = -q$ และ $uv = \sqrt[3]{\frac{q^2}{4}} = -\frac{p}{3}$
นอกจากนี้รากคำตอบอีกสองค่าจะซ้ำกันคือ $\omega^2 A + \omega A = (\omega^2 + \omega + 1)A - A = 0 \cdot A - A= -A$
ดังนั้นจะได้ $y = \cases{2A = -2\sqrt[3]{\frac{q}{2}}\cr -A = \sqrt[3]{\frac{q}{2}}}$


กรณี $\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4} < 0$ หรือ $4p^3 + 27q^2 < 0$

จะพบว่า $A, B$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนทุกค่า
เราได้พิสูจน์ให้เห็นแล้วว่ากรณีที่รากคำตอบเป็นคู่จำนวนเชิงซ้อน จัดอยู่ในกรณี $4p^3 + 27q^2 \geqslant 0$ ทั้งหมด
ดังนั้นรูปแบบของคำตอบที่เหลือที่เป็นไปได้มีเพียงกรณีเดียวคือ รากคำตอบทั้งหมดเป็นจำนวนจริง
(หากมีราคำตอบเป็นจำนวนเชิงซ้อน $1$ หรือ $3$ ค่า เมื่อสร้างกลับเป็นสมการกำลังสาม จะมีสัมประสิทธิ์บางตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อน)

กรณีนี้ เราสามารถแก้สมการกำลังสามโดยใช้ความรู้เรื่องตรีโกณมิติมาช่วยได้

จากเอกลักษณ์ $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$
หรือ $4\sin^3 \theta - 3\sin \theta + \sin 3\theta = 0$

สมมติให้ $\sin \theta = y$ แทนค่าลงไป จะได้ว่า
$4y^3 - 3y + \sin 3\theta = 0$ หรือ $y^3 - \frac{3}{4}y + \frac{\sin 3\theta}{4} = 0$

จะเห็นว่า ในกรณีที่ $p = -\frac{3}{4}$ และ $q = \frac{\sin 3\theta}{4}$
จะมีรากคำตอบของสมการคือ $y = sin \theta$ โดยที่ $\theta = \frac{1}{3}\sin^{-1}(4q)$ และ $|q| \leqslant \frac{1}{4}$

อืมเหมือนจะใช้ได้นะ แล้วในกรณีที่ $p \neq -\frac{3}{4}$ ละ :confused:

ลองแบบนี้สิ สมมติว่า $\sin \theta = \frac{y}{a}$ แทนค่าลงไป จะได้
$\frac{4}{a^3}y^3 - \frac{3}{a}y + \sin 3\theta = 0$ หรือ $y^3 - \frac{3a^2}{4}y + \frac{a^3\sin 3\theta}{4} = 0$
มีค่า $p = - \frac{3a^2}{4}$ และ $q = \frac{a^3\sin 3\theta}{4}$

เมื่อเราทราบค่า $p, q$ ก็สามารถหาค่า $a$ และ $\theta$ ที่เหมาะสมได้เป็น
$a = \sqrt{-\frac{4p}{3}}$
และ $\theta = \frac{1}{3}\sin^{-1}\left(\frac{4q}{a^3}\right) = \frac{1}{3}\sin^{-1}\left(\frac{3q}{p}\sqrt{-\frac{3}{4p}}\right)$
จึงได้ $y = a\sin \theta = \sqrt{-\frac{4p}{3}} \sin\left(\frac{1}{3}\sin^{-1}\left(\frac{3q}{p}\sqrt{-\frac{3}{4p}}\right)\right)$

แล้วคำตอบที่เหลืออีกสองค่าละ :confused:
ก็ได้จากตอนหาค่า $\sin^{-1}$ ที่ได้มุมออกมาหลายค่านั่นเอง
ดังนั้นรากคำตอบทั้งหมด $y = \sqrt{-\frac{4p}{3}} \sin\left(\frac{1}{3}\left(\sin^{-1}\left(\frac{3q}{p}\sqrt{-\frac{3}{4p}}\right) + 2n\pi\right)\right)$ โดยที่ $n = 0, 1, 2$

ยังมีอีก $2$ เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการหารากคำตอบเหล่านี้คือ
$-\frac{4p}{3} \geqslant 0$ หรือ $p \leqslant 0$
และ
$\begin{array}{rl}
\left|\frac{3q}{p}\sqrt{-\frac{3}{4p}}\right| & \leqslant 1\\
\left(\frac{9q^2}{p^2}\right)\left(-\frac{3}{4p}\right) & \leqslant 1\\
-\frac{27q^2}{4p^3} & \leqslant 1\\
4p^3 + 27q^2 & \leqslant 0
\end{array}$

สอดคล้องกับเงื่อนไขของกรณีที่เราต้องการหารากคำตอบพอดี
แสดงว่าวิธีนี้ใช้หารากคำตอบที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมดได้เท่านั้น :wub:

สุดยอดครับ

สุดยอดเลยค่ะ ขอบคุณน่ะ ค่ะ

ขอบคุณครับ เข้าใจเลย

ขอบคุณมากขอรับ
--ขอคารวะ--

สมมติฐานบางอย่างดูไม่ครอบคุมนะครับ ไม่มีที่มาซะดื้อๆ (อาจจะมีข้อคิดอื่นที่เครียร์กว่า)สามารถแตกแขนงออกได้อีก และ ถ้ามีกราฟโชว์ด้วยจะดีมาก

ขอบคุณมากครับ

...นี้สส.ส.ส..นุง...
...ละเอียด...ครบถ้วนครับ...
...แต่...อธิบายเป็นเชิงทฤษฐีมากๆแบบนี้...
...สำหรับ...เด็กที่อ่าน...น้อยคนที่จะอ่านแล้วพิจารณาทำความเข้าใจตามไปด้วย...ตั้งแต่ต้นจนจบ...หรือลายตาซะก่อนนั่นเองครับ...
...แนะนำว่า...ถ้าเป็นไปได้...ให้ทำเป็บคลิปสอน...แล้วอัปขึ้น youtube ครับ...
...จริงๆนะครับ...จะทำให้...ติดตามและทำความเข้าใจได้ดียิ่งขึ้นครับ...

สุดยอดคราฟฟๆๆ

เทคนิคการวาดกราฟกำลังสาม
 

ผมรวบรวมรายละเอียดการวาดกราฟสมการกำลังสาม(Cubic equation) ไว้ในแบบที่เข้าใจง่ายเพื่อประกอบกับสูตรการหารากสมการกำลังสาม เผื่อจะเป็นประโยชน์กับผู้ที่สนใจ ดังรูปสรุปแบบต่างๆดังนี้ครับ ขอบคุณครับ

ยกตัวอย่างการใช้กราฟมาวิเคราะห์รากของสมการ
 

ยกตัวอย่างเราจะวาดกราฟ $y=2x^{3}-12x^{2}+22x-11$
$[A=2,B=-12,C=22,D=-11$]

1)พิจารณาค่า $A=2$ มีค่าเป็นบวก $(A>0)$
2)พิจารณาค่า $a=\frac{\sqrt{B^{2}-3AC} }{3A} =\frac{\sqrt{(-12)^{2}-(3)(2)(22)} }{(3)(2)}=\frac{\sqrt{3} }{3} $ หาค่า a เป็นจำนวนจริงได้
จากข้อ 1)+2) แสดงว่า......กราฟที่ได้จะเป็นรูปตัว Z
3)หาจุดเปลี่ยนเว้า $(r,f(r)),r=-\frac{B}{3A} =-\frac{-12}{(3)(2)}=2$
$f(r)=f(2)=2(2^{3})-12(2^{2})+22(2)-11=1$
แสดงว่า....(2,1)=จุดเปลี่ยนเว้าของกราฟ หรือ เส้นตรง $x=2,y=1=แกนสะท้อนของกราฟ$
4)หาระยะสูงสุด/ต่ำสุดสัมพัทธ์วัดจากแกนสะท้อน$=2\left|\,A\right|a^{3}= (2)(2)(\frac{\sqrt{3} }{3} )^{3}=\frac{4\sqrt{3} }{9}\approx 0.77 $
5)หาระยะแคบ/กว้างของตัวZจากค่า $\sqrt{3}a=(\sqrt{3} )(\frac{\sqrt{3} }{3} )=1$
หลังจากนั้นก็วาดกราฟได้ดังรูป....จะเห็นว่า ค่า $2\left|\,A\right| a^{3}<\left|\,f(r)\right|$ .......(0.77<1)
แสดงว่ากราฟตัดแกน $x$ แค่ 1 จุด ...สมการ$2x^{3}-12x^{2}+22x-11=0$ จึงมีรากที่เป็นจำนวนจริงแค่ 1 ค่าเท่านั้น รากอีก 2 ค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน

การใช้กราฟและฟังก์ชันตรีโกณมิติมาประยุกต์ในการหาคำตอบของสมการกำลังสาม
 

ก่อนอื่นขออารัมภบทก่อนว่า............
จากทฤษฎีการวาดกราฟสมการกำลังสามที่ผมรวบรวมขึ้น มาจากการหาค่าสูงสุด/ต่ำสุดสัมพัทธ์ คือ
ถ้ากำหนด $y=f(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D โดยที่ A\not= 0,B,C,D\in R$
$$x_{(relatively...min./max.)}=\frac{-B\pm \sqrt{B^{2}-3AC} }{3A} $$
แล้วมาต่อยอดเป็น ค่า $r=-\frac{B}{3A} $ ค่า $a=\frac{\sqrt{B^{2}-3AC} }{3A} $
โดยที่ $(r,f(r))=จุดเปลี่ยนเว้า$ และค่า $a จะเกี่ยวข้องกับค่าสูงสุด/ต่ำสุดสัมพัทธ์$
แต่เพื่อความสะดวกในการวาดกราฟ ถ้าค่า $a$สามารถหาค่าเป็นจำนวนจริงได้ ผมจะให้ค่า $a เป็น+ เสมอ$ คือ $a=\frac{\sqrt{B^{2}-3AC} }{3\left|\,A\right| } $แต่ค่า $r=-\frac{B}{3A} $ เหมือนเดิม
คือสมการ $y=f(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0 $ ถ้าเราสามารถหาค่า $r,a$ ได้แล้ว จะสามารถจัดรูปใหม่ให้อยู่ในรูปแบบของ $A[(x-r)^{3}-3a^{2}(x-r)+\frac{f(r)}{A} ]=0$ ได้เสมอ ซึ่งจะเป็นไปตามสูตรของคาร์ดาน
$X^{3}+pX+q=0$ โดย $p=-3a^{2},q=\frac{f(r)}{A}$
.....ในการหาคำตอบของสมการกำลังสามที่มีส.ป.ส.เป็นจำนวนจริง เราจะสามารถจำแนกรากของสมการที่เป็นจำนวนจริงได้จากค่าที่เขาเรียกว่า "ดิสคริมิแนนต์" แต่ผมจะขอสรุปในรูปแบบทฤษฎีของผมดังนี้ครับ
.....กรณี $a\not\in R$-$y=f(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0 $ สมการจะให้คำตอบเป็นจำนวนจริง 1ค่า และจำนวนเชิงซ้อน 2 ค่า
......กรณี $a\in R\not= 0$-$y=f(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0 $ จะสามารถให้คำตอบได้ดังนี้
1. ถ้า $\left|\,f(r)\right| < 2\left|\,A\right| a^{3}$ สมการจะให้คำตอบเป็นจำนวนจริง3ค่าที่แตกต่างกัน
2. ถ้า $\left|\,f(r)\right| = 2\left|\,A\right| a^{3}$ สมการจะให้คำตอบเป็นจำนวนจริง2ค่าที่แตกต่างกันเท่านั้น
3. ถ้า $\left|\,f(r)\right| > 2\left|\,A\right| a^{3}$ สมการจะให้คำตอบเป็นจำนวนจริง 1ค่า และจำนวนเชิงซ้อน 2 ค่า
......กรณี $a\in R= 0$ -$y=f(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D =0$ สมการจะให้คำตอบเป็นจำนวนจริง 1ค่าเท่านั้น
ลองดูวิธีการหาค่ารากของสมการกรณีที่เป็นจำนวนจริง 3 ค่า โดยใช้กราฟกับฟังก์ชัน sine มาประยุกต์ในการหาเพราะถ้าใช้ตามสูตรของคาร์ดานน่าจะมีความซับซ้อนในกรณีที่รากเป็นจำนวนจริง3ค่าอยู่พอสมควรและถ้ามองกันดีดี กราฟของสมการกำลังสามมีช่วงที่คล้ายกับฟังก์ชัน sine ครับ วิธีก็จะคล้ายกับเจ้าของบทความในกระทู้ครับแต้ผมเพิ่มเติม idea บางอย่างให้ดูง่ายขี้นเข้าไปครับ

กำลังหาข้อมูลเรื่องนี้พอดีเลยครับ

ยังมีข้อมูลบางอย่างอีกครับเกี่ยวกับสมการกำลังสามที่ผมค้นคว้าอยู่ แต่ผมยังไม่ได้เปิดเผยที่ไหน อาทิเช่น ทฤษฎีการเป็นลำดับเลขคณิตของรากสมการกำลังสาม และยิ่งค้นก็ยิ่งลึกครับ แต่คาดว่าจะนำข้อมูลทฤษฎีต่างๆมาลงไว้ที่นี่ทีเดียวแหละครับ แต่อาจจะช้าหน่อยเพราะผมค้นคว้างานด้านคณิตศาสตร์เหมือนทำงานด้านศิลปะอย่างหนึ่งครับ มันต้องมีความอยากแล้วถึงจะสร้างสรรค์ผลงานได้อย่างเป็นชิ้นเป็นอันครับ ก็ต้องขอบคุณเจ้าของบทความที่เปิดช่องให้ผมได้เห็นอะไรบางอย่าง อ่านปุ้บไอเดียมาเต็ม ติดตามผลงานกันด้วยนะครับ

ผลเฉลยของสมการกำลังสาม
 

คราวนี้เมื่อเรารู้จักสมการกำลังสามดีพอแล้ว เราจะมาหาผลเฉลยของสมการ
$$x^{3}+y^{3}=z^{3} ....โดยที่ x,y,z\in I^{+}$$
ซึ่งนักคณิตศาสตร์เขาบอกว่าไม่มี แต่ผมไม่เชื่อก็เลยพยายามค้นหาว่ามันมี แต่หายังไงก็ยังไม่เจอ ก็เลยเปลี่ยนเงื่อนไขนิดหน่อยเป็น
$$x^{3}+y^{3}=z^{3} ....โดยที่ z\in I^{+},(x+y)\in I^{+},(xy)\in I^{+}....x,y\in R^{+}$$
ซึ่งถ้าผมรู้ผลเฉลยของมันก็แสดงว่าผมเข้าใกล้ผลเฉลยของ$x^{3}+y^{3}=z^{3} ....โดยที่ x,y,z\in I^{+}$อีกนิด
ซึ่งปรากฎว่าหาผลเฉลยได้หลายผลเฉลยเลยครับ ผลเฉลยชุดหนึ่งก็คือ
$$x=\frac{9+\sqrt{5} }{2} ,y=\frac{9-\sqrt{5} }{2},z=6$$

ลองดูวิธีหาของผมครับ.............

ผลเฉลยที่ผมหาได้อีกชุดหนึ่งครับ
$$x=(18+\sqrt{142})s.....,y=(18-\sqrt{142})s....,z=30s....เมื่อ..s\in I^{+}$$

ทฤษฎีการเป็นลำดับเลขคณิตของรากสมการกำลังสาม
 

กำหนด $y=f(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D เมื่อ A\not= 0,B,C,D เป็นจำนวนจริงและB^{2}-3AC>0 $
1.$y=f(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0$จะมีรากเป็นจำนวนจริง 3 ค่าและเรียงกันเป็นลำดับเลขคณิตก็ต่อเมื่อ$f(-\frac{B}{3A} )=0$
2.กรณีที่$y=f(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0 และ f(-\frac{B}{3A} )\not= 0$จะสามารถหาจำนวนจริง $k\in R$ ได้เพียงค่าเดียวที่ทำให้ $y=f(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=k$ มีรากสมการเป็นลำดับเลขคณิต
3.$y=f(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=k เมื่อ k=f(-\frac{B}{3A})$จะมีรากของสมการเป็นลำดับเลขคณิตเสมอ และถ้า $x_{1},x_{2},x_{3}$ เป็นรากของสมการที่เรียงจากน้อยไปมาก$$x_{1}=-\frac{B}{3A}-\sqrt{3}a,x_{2}=-\frac{B}{3A}และ x_{3}=-\frac{B}{3A}+\sqrt{3}a เมื่อ a=\frac{\sqrt{B^{2}-3AC} }{3\left|\,A\right| } $$

คิดแบบนี้ ถึงมี กาลัวร์ฟิวด์ :0-1 แบบว่ามี C กับ D ไม่เอาไปคิดด้วย คงเพราะว่าง่าย เหมือนๆ X^3-X-1 =0

กลายเป็น 1 2 3 4 ... ส่วน ทำให้มีหลายระบบ เช่น Metric อังกฤษ กับ Metric อเมริกา ไหนจะ เยรมัน

เพราะอะไรถึงคิดแบบนี้ครับ อธิบายหน่อยได้มั้ยครับ

ที่มาของไอเดีย หรือ เหตุผลสนับสนุนก็ได้ครับ

ถ้าผมรู้ผลเฉลยของ$x^{3}+y^{3}=z^{3},(x+y)และ(xy)และzเป็นจำนวนเต็มบวก$ผมก็จะเข้าใกล้ผลเฉลยของ$x^{3}+y^{3}=z^{3},xและyและzเป็นจำนว นเต็มบวก$
....คือที่มาของความคิดนี้ก็หลักการพื้นฐานครับคือผมจะไม่เชื่ออะไรที่พูดต่อๆกันมาหรือได้ยินต่อๆกันมาแต่ผมจะเชื่อเมื่อได้พิสูจน์ด้ว ยตัวเองแล้วเท่านั้น ทำให้จำเป็นต้องขยายกรอบหรือเซตคำตอบให้มันกว้างขึ้น และถ้าในเซตคำตอบนั้นไม่มีสิ่งที่เราต้องการแล้วข้อสรุปก็น่าจะตามมาก็น่าจะเป็นวิธีในการพิสูจน์อย่างหนึ่งครับ

กาลัวฟิวด์0-1คืออะไรเหรอครับ?

เป็นไอเดียที่ดีนะครับ และถ้าหากว่าเซตคำตอบที่เราขยายออกไปมีสิ่งที่เราต้องการละครับ

เราจะย่อสิ่งๆนั้นกลับมาที่โจทย์แล้วสรุปผลยังไงละครับ

ปล.พักนี้ไม่รู้เป็นไร อยากหาคนคุยด้วย :laugh:

ก็ตรงไปตรงมาครับ คือสรุปว่ามีผลเฉลยอย่างน้อย1ชุดของสมการกำลังสาม$x^{3}+y^{3}=z^{3}โดยที่x,yและzเป็นจำนวนเต็มบวก$

มันสรุปแบบนั้นไม่ได้น่ะสิครับ

เพราะชุดคำตอบ $x,y,z$ ที่คุณหาออกมา มี $x,y$ ไม่เป็นจำนวนเต็มบวก

มีเฉพาะ $z$ เท่านั้น ที่คุณหาออกมาได้ ที่เป็นจำนวนเต็มบวกนิครับ

ปล. ผมคิดว่าไอเดียขยายเซตคำตอบเป็นไอเดียที่ดีครับ

แต่มันเป็นไอเดียที่มีปัญหาและไม่สมบูรณ์ คือใช้ได้แค่ระดับนึงเท่านั้น

เออ ตามหัวข้อโจทย์มีคนเอา เงื่ิอนไขตอนท้ายไปใส่ในสมการ $x^3$ + $y^3$ = $z^3$ หา x, y, z ที่เป็นจำนวนเต็ม

ส่วน Galois Theory ลองหาหนังสืออ่านดูครับ เค้าเริ่มจากแก้สมการกำลังสาม Cubic Equation ชื่อคนแต่ง David A .Cox

ไม่ใช่งานของผม

ไม่มีสัมประสิทธิ์หนัาตัวแปรให้ทอนลงมา ที่เป็นจำนวนเต็ม นักคณิตศาสตร์ก็คงหันไปคำนวนเลขชี้กำลังก่อน เพราะทอนจาก 3 เป็นกำลัง 2 และ 1 ได้ หรือ 3 เทอมในสมการ ทอนลงให้เหลือ 2 สมการ ที่เป็นกำลัง 2 แล้วเเข้าสูตร x = $(-b $+/-$ $sqt($b^2$-4ac))$/2a$

:)

บทสรุปของผลเฉลยของสมการกำลังสามที่เป็นจำนวนเต็มบวก
 

เพื่อไม่ให้เกิดความสับสนในการใช้ภาษา ผมจะขอสรุปผลเฉลยของสมการ $x^{3}+y^{3}=z^{3}$ โดยใช้สัญลักษณ์ทางเซตดังนี้นะครับ.....
กำหนดให้....
$$A=\left\{\,(x,y,z)\in R^{+}\times R^{+}\times I^{+}\mid x^{3}+y^{3}=z^{3}\right\} $$
$$B=\left\{\,(x,y,z)\in I^{+}\times I^{+}\times I^{+}\mid x^{3}+y^{3}=z^{3}\right\} $$
จากเซต $A$และ$B$ ข้างต้นจะได้ว่า $B\subset A$
แต่จากการหาผลเฉลยของเซตคำตอบของ $A$ โดยใช้เวลาอยู่พอสมควรแล้ว
ผมสรุปเซตคำตอบของ $A$ ได้ทั้งหมด $4 ชุดคำตอบ$แล้วครับ (มันยังมีอีก.........)
$$ชุดที่1....(x,y,z)=((9+\sqrt{5} )s,(9-\sqrt{5})s,12s)....เมื่อ 12s\in I^{+}$$
$$ชุดที่2....(x,y,z)=((12+\sqrt{33} )s,(12-\sqrt{33})s,18s)....เมื่อ 18s\in I^{+}$$
$$ชุดที่3....(x,y,z)=((18+\sqrt{142} )s,(18-\sqrt{142})s,30s)....เมื่อ 30s\in I^{+}$$
$$ชุดที่4....(x,y,z)=((36+\sqrt{899} )s,(36-\sqrt{899})s,66s)....เมื่อ 66s\in I^{+}$$

ซึ่งจากเซตคำตอบดังกล่าวยังไม่มี $(x,y,z)\in I^{+}\times I^{+}\times I^{+}$
แต่คาดว่าผลเฉลยมันน่าจะมีเป็นอนันต์ชุด(ไม่แน่ใจ) ดูจากแนวโน้มแล้ว มันก็น่าจะมีสัก 1 ชุดคำตอบน่าที่ใช่........

ขอให้ไปในแนวทางนี้จนถึงที่สุดเลยครับ .

ไม่ค่อยมีเวลา แต่อยากเสนอให้ฟังคร่าวๆครับ ดังนี้

สมมติว่าเรามีสมการกำลังสองอยู่หนึ่งสมการ สมมติว่าเป็น

$x^2+4x+6=0$ ก็แล้วกัน ลองสังเกตดูว่าเราหาคำตอบที่เป็นจำนวนจริงไม่ได้

จริงไหมครับ แต่พอมีใครซักคนคิดระบบของจำนวนเชิงซ้อนออกมา ก็มีคำตอบทันที

ก็เท่ากับว่า คนๆนั้นใช้ตรรกะในการขยายเซตคำตอบเหมือนกัน

คือแทนที่จะหาคำตอบบนเซตของจำนวนจริง ก็ไปหาเป็นเซตของเชิงซ้อนแทน

ทีนี้ไอเดียคือการขยายเซตคำตอบออกไปเป็นจำนวนเชิงซ้อน

มันยังสรุปไม่ได้ 100% ถึงพฤติกรรมการเกิดรากของเซตคำตอบก่อนขยายครับ

ลองมองแบบนี้ดู สมการ $x^2+4x+6=0$ หารากบน $\mathbb{R}$ จะได้ว่า "ไม่มี"

พอมาทำเป็นหารากบน $\mathbb{C}$ โดยที่ $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ เหมือนกับว่าจำนวนเชิงซ้อนมีความทั่วไปกว่าจำนวนจริง

(โดยการเซทให้สัมประสิทธิ์หน้า $i$ เป็นศูนย์) ปรากฏว่ามีรากพอดี

ก็เท่ากับว่ามันมีรากบนขอบเขตที่ขยายออกไป แต่ "ไม่มี" รากบนขอบเขตเดิม

----------------------------------------------------------------------

กลับมาดูที่ความเห็นล่าสุดของคุณข้างบน คือการดู $(x,y) \in \mathbb{R}^2$

แล้วปรากฏว่าไปเจอคำตอบ พอลดขอบเขตมาเป็น $(x,y) \in \mathbb{N}^2$

มันจะสรุปว่าไม่มีหรือมีแบบตัวอย่างที่ผมยกไว้ข้างบนไม่ได้ เพราะตัวอย่างข้างบน

เรารู้ๆกันด้วยความรู้ของจำนวนเชิงซ้อนม.ปลายที่ไม่ได้ซับซ้อนมาก ว่ามีหรือไม่มีคำตอบ

พอกลับมามองที่ FLT กรณี $n=3$ การที่คุณกำลังจะสรุปคำตอบโดยวิธีขยายขอบเขต

ต่อให้เจอคำตอบบนขอบเขตที่ขยายออกไป ก็สรุปกลับมาที่ขอบเขตก่อนขยายไม่ได้ครับ

สมมติว่าถ้ามัน "ไม่มี" คำตอบบนขอบเขตที่ขยาย แล้วสรุปว่า "ไม่มี" คำตอบในขอบเขตก่อนขยาย

อันนี้ "อาจจะ" ได้ครับ เพราะ $\mathbb{N} \subset \mathbb{R}$ และ $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ เซตนึงมีความทั่วไปมากกว่าอีกเซต

กลับมาที่คำถามที่ผมเคยถามว่า ว่าถ้าหากเซทที่ขยายออกไป ดัน "มี" คำตอบมาละ

มันก็ใช่ว่าจะสรุปกลับมาที่ขอบเขตก่อนขยายได้ว่า มีหรือไม่มี 100% ครับ

การสรุปผล เราจะสรุปจากสิ่งที่เพียงพอให้สรุปเท่านั้นครับ และคำตอบที่คุณหาออกมาได้

เป็นแค่คำตอบกรณีเฉพาะที่ $x+y , xy$ เป็นจำนวนเต็มบวกแค่นั้นครับ

คำตอบบนโดเมนขยายขอบออกไป มีได้เป็นอนันต์ไม่ต้องสงสัยครับ

ปล. FLT มีความ sharp และ strong สูงมากครับ พวก capability ต่ำๆไม่มีทางทุบลงครับ

บทสรุปของผลเฉลยของสมการกำลังสามที่เป็นจำนวนเต็มบวกทั้ง x,yและz
 

ขอบคุณครับ.............
ขอบคุณครับ.....ความเข้าใจน่าจะตรงกันครับ แต่อาจจะอธิบายกันคนละทางเท่านั้นเอง
.......................................................................................................
ผมก็ขอสรุปผลเฉลยของสมการ $x^{3}+y^{3}=z^{3}$ โดยที่ทั้ง x,yและ z เป็นจำนวนเต็มบวก นั้นไม่มีผลเฉลยครับ
เพราะว่าจากการพิจารณาผลเฉลยของสมการ $x^{3}+y^{3}=z^{3}$ โดย xและy เป็นจำนวนจริงบวกใดๆก็ได้ ส่วน zเป็นจำนวนเต็มบวกเท่านั้น
ซึ่งมีเป็นจำนวนอนันต์ผลเฉลย ไม่มีผลเฉลยใดๆเลยที่ค่า xและy เป็นจำนวนเต็มบวกเลยครับ ส่วนวิธีการพิสูจน์นั้นผมสรุปมาคราวๆได้ประมาณ 4 หน้ากระดาษ
โดยผมพยายามจะใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ให้มากที่สุด เพื่อให้เกิดความชัดเจน ถูกก็คือถูก ผิดก็คือผิด
หากมีข้อผิดพลาดหรือช่องว่างประการใด ขอน้อมรับไว้ทุกประการครับ ขอบคุณครับ

การหาค่ารากที่เป็นจำนวนจริงของสมการกำลังสาม
 

หลังจากการค้นคว้าข้อมูลเกี่ยวกับสมการพหุนามกำลังสามมาพอสมควร วิธีการหารากของสมการถ้าใครสะดวกใช้สูตรของคาร์ดานก็ตามสบายครับ(ถ้ามีเวลาลองใช้ดู...ได้ผลยังไงบอกผมด้วย) แต่ผมจะขอเสนอวิธีการหาอีกแบบหนึ่งในแบบ engineering style คือขอให้มีเครื่องคิดเลขที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติ ดินสอ 1 แท่ง กระดาษ A4 1 ใบ เป็นใช้ได้ใช้เวลาไม่นานครับ ยกตัวอย่างเช่น
ตัวอย่างที่ 1
จงหารากของสมการ $2x^{3}-12x^{2}+22x-11=0$
วิธีทำ
1. จากโจทย์ได้ $A=2,B=-12,C=22,D=-11$
2. ตรวจสอบว่า $B^{2}-3AC$ อยู่กรณีไหนมากกว่าศูนย์ เท่ากับศูนย์ หรือน้อยกว่าศูนย์
$B^{2}-3AC=(-12)^{2}-(3)(2)(22)=12>0$
3. หาค่าพารามิเตอร์ต่างๆ
หาค่า $r=-\frac{B}{3A}=-\frac{-12}{(3)(2)}=2$
หาค่า $a=\frac{\sqrt{B^{2}-3AC} }{3A} =\frac{\sqrt{(-12)^{2}-(3)(2)(22)} }{(3)(2)}=\frac{\sqrt{3} }{3}$
หาค่า $f(r)=Ar^{3}+Br^{2}+Cr+D=2(2^{3})-12(2^{2})+22(2)-11=1$
หาค่า $\rho =\frac{f(r)}{2Aa^{3}}=\frac{1}{(2)(2)(\frac{\sqrt{3} }{3})^{3} }\approx 1.299......\left|\,\rho \right|>1$
4. หาค่ารากของของสมการ โดยหามุมทางตรีโกณมิติก่อนโดยใช้เครื่องคิดเลข
$\alpha =\frac{1}{2}sin^{-1}(\frac{1}{\rho } )=\frac{1}{2}sin^{-1}(\frac{1}{1.299})\approx 25.169 ^{\circ }$
รากของสมการเท่ากับ $x=r-a\sqrt[3]{tan\alpha } -\frac{a}{\sqrt[3]{tan\alpha } } =2-\frac{\sqrt{3} }{3} \sqrt[3]{tan25.169^{\circ }} -\frac{\sqrt{3} }{3\sqrt[3]{tan25.169^{\circ }} } \approx 0.809$
ส่วนตัวอย่างต่อๆไป ผมจะทยอยเอามาลงให้ครับ........แต่ผมสรุปวิธีการหาให้แล้วครับดังนี้
หมายเหตุ:ตามเอกสารที่แนบมีแก้ไข1จุดครับ จาก $\rho =\frac{f(r)}{2Aa^{3}}$แก้เป็น $\rho =\frac{f(r)}{2\left|\,A\right| a^{3}}$

ที่พิมพ์ไว้มันมีปัญหาที่ผมเห็นคร่าวๆคือตรงการให้ $(x,y)=(a+\sqrt{b},a-\sqrt{b})$

แล้วบอกว่าเซตคำตอบของ FLT ในเคสที่ $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ จะโดน cover ด้วยค่าของ $x,y$ ในรูปจำนวนเต็มบวก $a,b$ อะครับ

มันเป็นวิธีคิดที่ไม่สมบูรณ์ครับ ยังมีจำนวนจริงหลายๆตัว ที่เป็นคำตอบของ FLT ในเคส $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ อยู่อีกมาก

แต่ไม่จำเป็นว่าต้องเขียนได้ในรูป $a,b$ แบบนั้นเสมอไป เช่น $(x,y,z)=(e,\sqrt[3]{8-e^3},2)$ ก็เป็นอีกหนึ่งคำตอบ

แต่ไม่มี $(x,y)$ ที่เขียนได้ในรูป $a,b$ โดยที่ $a,b$ เป็นจำนวนเต็มบวกเลย

บทพิสูจน์นี้ใช้ได้แค่ case เล็กๆเท่านั้นครับ ลองนึกดูครับ มันมี trivial solution อีกมากมาย

ส่วนรายละเอียดอื่นๆ เดี๋ยวไว้ว่างๆกว่านี้ผมจะมาอ่านให้นะครับ :great:

สูตรการหารากสมการกำลังสามแบบไทยทำ
 

ผมจะยกตัวอย่างการหาค่ารากสมการกำลังสามมาให้ดูอีกสัก 1 ตัวอย่างนะครับ โดยดูสูตรการหาจากความเห็นที่ #31 ประกอบได้
เช่น จงหารากของสามการ $x^{3}+2x^{2}+3x+4=0$
วิธีทำ
หาค่า A,BC และ D ได้คือ $ A=1,B=2,C=3,D=4$
1. หาค่า $B^{2}-3AC=2^{2}-(3)(1)(3)=-5$ ได้ค่าน้อยกว่า 0 แสดงว่ารากของสมการมีเพียงค่าเดียว
2. หาค่า $r=-\frac{B}{3A} =-\frac{2}{(3)(1)} =-\frac{2}{3} $
3. หาค่า $a=\frac{\sqrt{3AC-B^{2}} }{3A} =\frac{\sqrt{5} }{3} \approx 0.7454$
4. หาค่า $f(r)=Ar^{3}+Br^{2}+Cr+D=(-\frac{2}{3})^{3}+(2)(-\frac{2}{3})^{2}+(3)(-\frac{2}{3})+4\approx 2.5926$
5. หาค่าพารามิเตอร์ $\rho =\frac{f(r)}{2Aa^{3}} =\frac{2.5926}{(2)(1)(0.7454)^{3}}\approx 3.13$
6.หาค่ามุมทางตรีโกณมิติ $\beta =\frac{1}{2}tan^{-1}(\frac{1}{\rho } )=(\frac{1}{2})(tan^{-1}(\frac{1}{3.13})) \approx 8.859^{\circ }$
7. ค่ารากของสมการคือ=$x=r+a\sqrt[3]{tan\beta } -\frac{a}{\sqrt[3]{tan\beta } } =-\frac{2}{3}+(0.7454)(\sqrt[3]{tan8.859^{\circ }}) -\frac{0.7454}{\sqrt[3]{tan8.859^{\circ }} } \approx -1.651$
ถ้าผิดพลาดตรงไหนติได้เตือนได้เลยครับ

ตัวอย่างสมการกำลังสามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม แต่ค่ารากของสมการเป็นจำนวนอตรรกยะหมดและมีลักษณะพิเศษ
เช่น $8x^3-12x^2-12x+17=0$ มีค่ารากเป็น
$$x_1=-sin10^{\circ }+sin30^{\circ }+sin50^{\circ }$$$$x_2=sin10^{\circ }+cos20^{\circ }+sin30^{\circ }$$$$x_3=-cos20^{\circ }+sin30^{\circ }-cos40^{\circ }$$
เพราะว่าค่ารากทุกค่ามีค่ามุมทางตรีโกณมิติเรียงกันเป็นลำดับเลขคณิตหมด:mad:

ตัวอย่างสมการพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และมีรากของสมการเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ
......1) $4x^2+2x-1=0$
มีรากสมการเป็น $cos\frac{2\pi }{5} ,cos\frac{4\pi }{5}$

......2) $8x^3+4x^2-4x-1=0$
มีรากสมการเป็น $cos\frac{2\pi }{7} ,cos\frac{4\pi }{7},cos\frac{6\pi }{7} $

......3) $16x^4+8x^3-12x^2-4x+1=0$
มีรากสมการเป็น $cos\frac{2\pi }{9} ,cos\frac{4\pi }{9},cos\frac{6\pi }{9},cos\frac{8\pi }{9} $

......4) $32x^5+16x^4-32x^3-12x^2+6x+1=0$
มีรากสมการเป็น $cos\frac{2\pi }{11} ,cos\frac{4\pi }{11},cos\frac{6\pi }{11},cos\frac{8\pi }{11} , cos\frac{10\pi }{11} $

และคาดว่าก็ต้องมีพหุนามที่มีรากสมการเป็น $cos\frac{2\pi }{13} ,cos\frac{4\pi }{13},cos\frac{6\pi }{13},cos\frac{8\pi }{13} , cos\frac{10\pi }{13} , cos\frac{12\pi }{13} $

เรขาคณิตของผลเฉลยของรากสมการกำลังสาม
 

สมการพหุนามกำลังสามที่มีรากของสมการเป็นจำนวนจริงทั้งสามจำนวนสามารถหาผลเฉลยโดยใช้เรขาคณิตของวงกลมผลเฉลยของรากสมการกำลังสามที่มีรั ศมีเท่ากับ 2a หน่วยหรือเท่ากับความกว้างของกรอบตัวZได้ โดยรากของสมการจะแบ่งวงกลมของผลเฉลยออกเป็น3ส่วนเท่าๆกัน ส่วนละ 120 องศาตามรูป ดูไปก็คล้ายๆ Mohr's circle อยู่เหมือนกันนะ:aah:
หมายเหตุ:ตามเอกสารที่แนบมีแก้ไข2จุดครับ
1. จาก $\rho =\frac{f(r)}{2Aa^{3}}$แก้เป็น $\rho =\frac{f(r)}{2\left|\,A\right| a^{3}}$
2.จาก $y=-2Aa^3sin3\theta +f(r)$ แก้เป็น$y=-2\left|\,A\right|a^3sin3\theta +f(r)$

ฟังก์ชันพาราเมตริกของฟังก์ชันพหุนามกำลังสาม
 

......การหาค่ารากของสมการกำลังสามจะโดยการประมาณหรือหาแบบตรงเป๊ะก็แล้วแต่นั้นไม่ใช่เรื่องง่ายเลยครับ ผมว่าถ้าลองตั้งโจทย์แบบสุ่มดูหรือพูดอีกแบบก็มั่วๆแบบแยกตัวประกอบไม่ออก แล้วลองให้เด็กม.ปลายแก้ผมเชื่อว่าที่แก้ถูกน่าจะนับคนได้ แต่เทคนิคหนึ่งที่นำมาใช้คือวิธีฟังก์ชันพาราเมตริก เป็นยังไงผมขอยกตัวอย่างแค่สัก1เคสคือกรณีกราฟของฟังก์ชันพหุนามกำลังสามมีลักษณะเป็นรูปตัวZ แต่ทำไมคนอื่นเขามองเป็นรูปตัวNหว่า:confused:
......คือช่วงของกราฟที่อยู่ในกรอบตัวZเราจะใช้ฟังก์ชัน sine ของมุมสามเท่ามาอ้างอิงซึ่งผมได้สาธยายไปแล้ว
.....ส่วนช่วงของกราฟนอกกรอบตัวZทางด้านซ้ายและขวาก็มีลักษณะคล้ายกันคือเราจะใช้ฟังก์ชัน cosec ของมุมสองเท่ามาอ้างอิง แต่ถ้าจะเอาให้ง่ายควรใช้ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิค cosh มาอ้างอิงครับ
......ด้วยวิธีการนี้เราสามารถหาค่าหรือประมาณค่ารากของสมการพหุนามกำลังสามได้ในที่สุดโปรดติดตามตอนต่อไปอาจจะช้าหน่อย น่าจะเบื่อกันหมดแล้วมั้งครับเนี่ย :huh:

รากของสมการพหุนามกำลังสามที่อยู่ในรูปแบบฟังก์ชันไฮเปอร์บอลิค
 

........สมการกำลังสามรูปตัวZที่มีส.ป.ส.เป็นจำนวนจริงและมีค่าพารามิเตอร์$-1<\rho <1$จะมีรากเป็นจำนวนจริงทั้งสามค่า ซึ่งหาได้จากฟังก์ชั่น sine.....
........ส่วนสมการกำลังสามรูปตัวZที่มีส.ป.ส.เป็นจำนวนจริงและมีค่าพารามิเตอร์ $\rho <-1หรือ\rho >1$จะมีรากเป็นจำนวนจริง1ค่าส่วนอีก2ค่าอยู่ในรูปจำนวนเชิงซ้อนนั้น สามารถหาได้จากฟังก์ชันไฮเปอร์บอลิค coshและ sinh ดังนี้.....
........ส่วนฟังก์ชันพหุนามกำลังสามแบบรูปกังหันที่มีส.ป.ส.เป็นจำนวนจริงคือค่า $\rho $ไม่ได้เป็นจำนวนจริง ก็สามารถใช้ฟังก์ชันไฮเปอร์บอลิค coshและ sinh หารากได้เช่นกัน รวมถึงฟังก์ชันพหุนามกำลังสี่ด้วยนะครับ จะค่อยๆนำมาลงให้ดูกันครับ

........ส่วนฟังก์ชันพหุนามกำลังสามแบบรูปกังหันที่มีส.ป.ส.เป็นจำนวนจริงคือสัวเกตจากค่า $B^2-3AC<0$ ก็สามารถใช้ฟังก์ชันไฮเปอร์บอลิค coshและ sinh หารากได้เช่นกัน
.......แล้วต่อไปจะนำลักษณะกราฟของฟังก์ชันพหุนามกำลังสี่มาเล่าสู่กันฟังครับ ซึ่งแบ่งได้เป็น 3 ลักษณะคือ 1.กราฟแบบนมสาว 2.กราฟแบบจรวด ซึ่งทั้งคู่เป็นกราฟแบบสมมาตร และ 3.กราฟแบบอสมมาตร

กราฟฟังก์ชันพหุนามกำลังสี่
 

กราฟฟังก์ชันพหุนามกำลังสี่แบบที่1ที่จะนำเสนอก่อนเลยคือ กราฟพหุนามกำลังสี่แบบสมมาตรจุดยอด2จุด หรือเรียกแบบไทยไทยว่า "กราฟนมสาว" ก็คงไม่ต้องบรรยายอะไรมากหลายคนคงน่าจะเดากันออกว่าเป็นแบบไหน วิธีเช็คว่าพหุนามกำลังสี่นั้นเป็นกราฟนมสาวหรือไม่ มีเงื่อนไข 2 ข้อครับ คือถ้ากำหนด $y=Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx+E,A\not= 0,B,C,D,Eเป็นจำนวนจริง$
1. $D=\frac{4ABC-B^3}{8A^2} $
2. $9B^2-24AC>0$
.......แล้วต่อไปผมจะนำเสนอกราฟแบบที่2คือกราฟพหุนามกำลังสี่แบบสมมาตรจุดยอดจุดเดียวหรือเรียกตามรูปพรรณสัณฐานว่า กราฟแบบจรวด จะนำมาบอกเล่าให้ติดตามในตอนต่อไปครับ
แก้ไข:มีเพิ่มเติมนิดคือ ถ้าสัมประสิทธิ์ของ$x^4$ คือ $A>0$ จะเป็นกราฟนมสาวแบบหงาย ดังรูปแนบ
ส่วนถ้า $A<0$ จะเป็นกราฟนมสาวแบบคว่ำ(สะท้อนลง) แต่มีรายละเอียดต่างๆเหมือนแบบหงายทุกประการ