โจทย์สมาคมฯ
 

1.ถ้า $r_1$ และ $r_2$ เป็นรากของสมการ $6x^2 - 7x - 3 = 0$ แล้ว ค่า k ที่ทำให้ $\frac{1}{r_1}$ และ $\frac{1}{r_2}$ เป็นรากของสมการ $x^2 + kx - 2 = 0$ เป็นเท่าใด

2.กำหนดให้ a,b,c เป็นจำนวนเต็ม และ $a>0$ ถ้า $x^3 + bx^2 + cx + 1$ หารด้วย $ax^2 - 2x - 1$ ลงตัว แล้ว $a+b+c$ มีค่าเท่าใด

3.ถ้า $\frac{a}{4-a} = \frac{b}{7-b} = \frac{c}{13-c}$ และ $a+b+c = 16$ แล้ว $c-b-a$ มีค่าเท่าใด

4.กำหนดให้ $\frac{1}{a^3}$ แปรผันตรงกับ $bc^2$, b แปรผันตรงกับ $d^2$ และ c แปรผกผันกับ $a^2$ ถ้า a=18 เมื่อ d=3 แล้ว $d^4$ มีค่าเท่าใด เมื่อ a=12

5.กำหนดให้ r และ s เป็นรากของสมการ $x^2 + px + q = 0$ ถ้า r และ s มีค่าเพิ่มขึ้น 10% และค่าที่เกิดขึ้นใหม่ทั้งสองสอดคล้องกับสมการ $x^2 + Apx + Bq = 0$ แล้ว $ A+B $ มีค่าเท่าใด (ตอบในรูปทศนิยมสองตำแหน่ง)

ขอวิธีทำหน่อยครับ:please:

ข้อแรก hint :$ \frac{r_1+r_2}{r_1r_2}= ?$
ข้อสอง hint : หารไปเรื่อย ๆ $a=1$
ข้อสาม hint: $\frac{16}{24-(a+b+c)} = \frac{a}{4-a} = \frac{b}{7-b} = \frac{c}{13-c}$
ข้อสี่ hint: ตั้งสมการแทนไปเรื่อยๆ
ข้อห้า ไม่แน่ใจ 0.11 รึเปล่า

ขอบคุณครับ:please:

ขอวิธีทำข้อ 4 หน่อยครับ พอดีว่าไม่ค่อยแม่นเรื่องนี้ครับ:sweat:

อีกข้อ

กำหนดให้ $a+b+c\not= 0 และ \frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}$ แล้ว $\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$ มีค่าเท่าไร

จากสิ่งที่โจทย์กำหนดให้จะได้ว่า $\frac{a+b}{c}=\frac{a+c}{b}=\frac{b+c}{a} =k$

ดังนั้นสิ่งที่โจทย์ถามคือ $k^3$ นั่นเอง แล้วจะหา $k$ ได้อย่างไร (หาจากสิ่งที่กำหนดขึ้นมาใหม่ )

ผมมองอีกแบบหนึ่งครับ
$\frac{4-a}{a}=\frac{7-b}{b} =\frac{13-c}{c} $

$\frac{4}{a} =\frac{7}{b} = \frac{13}{c} $

$a+b+c = 16$

$a+\frac{7}{4}a+\frac{13}{4}a =16 $

$a= \frac{8}{3} $

$b= \frac{14}{3} $

$c= \frac{26}{3} $

$c-b-a =\frac{4}{3} $

อีกวิธีหนึ่งที่ทำต่อจากตรงนี้ $\frac{4}{a} =\frac{7}{b} = \frac{13}{c} =\frac{4+7+13}{a+b+c}= \frac{3}{2} $

$\frac{c-b-a}{13-7-4} =\frac{2}{3}$

$\frac{c-b-a}{13-7-4} =\frac{2}{3}$

$\frac{c-b-a}{2} =\frac{2}{3}$

$c-b-a=\frac{4}{3}$

ผมขอนำความรู้เรื่องสัดส่วนกับอัตราส่วนในHigher Algebraบทที่สองของHallมาแก้โจทย์ข้อนี้

$\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a} =k$

$\frac{(a+b-c)+(a-b+c)+(-a+b+c)}{c+b+a}=k $

$k=1$

$\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a} =1$

$\frac{a+b}{c}-1=\frac{a+c}{b}-1=\frac{b+c}{a}-1 =1$

$\frac{a+b}{c}=\frac{a+c}{b}=\frac{b+c}{a} =2$

$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc} = (\frac{a+b}{c})(\frac{a+c}{b})(\frac{b+c}{a}) = 8$

ถ้าให้$r_3,r_4$ เป็นรากของสมการ $x^2 + kx - 2 = 0$
$r_3+r_4 = -k =\frac{1}{r_1} +\frac{1}{r_2} =\frac{r_1+r_2}{r_1r_2} $
$r_3r_4 = -2$
กลัีบมามองสมการ $6x^2 - 7x - 3 = 0 \rightarrow x^2-\frac{7}{6}x-\frac{1}{2} =0 $
$r_1+r_2=\frac{7}{6}$
$r_1r_2=-\frac{1}{2}$

$k = -\frac{r_1+r_2}{r_1r_2}$
$k= \frac{7}{3} $

แสดงว่า $ax^2 - 2x - 1$ เป็นตัวประกอบของ $x^3 + bx^2 + cx + 1$
สมมุติให้อีกตัวประกอบหนึ่งเป็น $(\frac{x}{a}-1 )$ เพราะคูณกันแล้ว สัมประสิทธิ์ของ$x^3$กลับมาเป็น 1 และพจน์ท้ายสุดคูณกันได้$1$
ลองคูณกลับดู$(\frac{x}{a}-1 )(ax^2 - 2x - 1)$

$= x^3-\frac{2}{a}x^2-\frac{x}{a}-ax^2+2x+1$

$=x^3-(\frac{2}{a}+a)x^2+(2-\frac{1}{a})x+1$

เทียบสัมประสิทธิ์ออกมาได้ว่า

$b= -(\frac{2}{a}+a)$

$c=2-\frac{1}{a}$

โจทย์กำหนดให้a,b,c เป็นจำนวนเต็ม และ $a>0$
ดังนั้น ค่าของ$a$ ที่ทำให้ $c$ ยังเป็นจำนวนเต็มคือ $1$
$a=1,b=-3,c=1$
$a+b+c = -1$

$r+s = -p$
$rs=q$
$1.1r+1.1s= 1.1(r+s) = -1.1p$
$1.1^2rs=1.21q$
$A= -1.1$
$B=1.21$
$A+B = 0.11$

ถามหน่อยคร้าบบบ

ไม r+s = -p อะครับ
แล้ว rs = q ได้ไงอ่าครับ

:please::please::please:

ก็คือ r,s คือราก แล้วลองเอา
$(x-r)(x-s)$ มันจะเท่ากับ $x^2+px+q$ ครับ
ดังนั้นเมื่อคูณกระจายออกมาคือ
$x^2+x(-s-r)+sr$
ดังนั้น $sr=q , r+s = -p$

กำหนดให้ $a+b+c\not= 0 และ \frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}$ แล้ว $\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$ มีค่าเท่าไร

ผมทำแบบนี้ได้ไหมครับ

$ \frac{a+b-c}{c}+2=\frac{a-b+c}{b}+2=\frac{b+c-a}{a}+2$
$\frac{a+b+c}{c}=\frac{a+b+c}{b}=\frac{a+b+c}{a}$
จึงได้ $a=b=c=x$
$=\frac{(x+x)(x+x)(x+x)}{x^3}$
$=\frac{8x^3}{x^3}$
$=8$

ผิดตรงไหนบอกด้วยนะครับ
ชอบคุณมากครับ

วิธีของน้องBlack-Dragonก็ใช้ได้นี่ครับ ไม่ต้องหา $k$
และไม่จำเป็นต้องไปกำหนดให้$a=b=c=x$
เราแทนในรูปตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งเลยก็ได้ครับ เช่นแทนเป็นรูปของ$a$ตัวเดียวเลย
วิธีของน้องน่าสนใจครับ.....:great::great::great:

ขอบคุณมากๆครับ

มีข้อ 1 ครับ ------>(ทำไม่ได้)

กำหนดให้ $(1+\frac{1}{n})^n=(1-\frac{1}{1000})^{999}$ จงหาค่า $n$