ข้อสอบค่ามากสุด
 

$a,b เป็นจำนวนเฉพาะ a^3-(a^2)(b^2)+b^3=-1 หาค่ามากสุดของ a+b$

ไม่มีคำตอบรึเปล่าครับ

น่าจะมีคำตอบ

ลองแทนค่า a = 2, b=3 ดูครับ อย่างน้อยก็ได้ a+b = 5

พิสุจน์ยังไงครับว่า 5 มากสุด

ผมก็กำลังติดแง็ก กำลังจะพิสูจน์ว่า ไม่มีจำนวนเฉพาะที่มากกว่า 3 ที่ทำให้เกิดอีกค่าหนึ่งที่สอดคล้องกับสมการ จึงจะได้ว่าคู่ของ 2,3 เป็นคู่เดียวที่สอดคล้องกับสมการ จึงเป็นค่าที่มากที่สุด No Ideaครับ

แก้ไขหใม่ เดี๋ยวมาโพสต์ใหม่

จำนวนเฉพาะเป็นเลขคู่ มีตัวเดียวคือ 2 ที่เหลือเป็นเลขคี่ ดังนั้นต้องหาว่ามีคู่เลขคี่ที่เป็นจำนวนเฉพาะที่สอดคล้องกับที่โจทย์กำหนดไหม
และ $a^3+b^3=(ab)^2-1$ ก็ได้ว่า คี่+คี่ = คี่-คี่
เมื่อกี้ของลุงBankerพิสูจน์กรณีที่ค่าหนึ่งเป็นเลขคู่ เหลือแต่เลขคี่กับเลขคี่ครับลุง ผมยังมึนอยู่เลย ผมใช้ทฤษฎีเศษเหลือแล้วก็ติดแง็ก
$a^3-b^2a^2+b^3+1=0$
ถ้าพิสูจน์ได้ว่า $b^3+1$ แยกตัวประกอบออกมาเป็นจำนวนเฉพาะสามตัวคูณกันได้
ให้รากทั้งสามของสมการพหุนามนี้คือ $a_1,a_2,a_3$ ซึ่งทั้งสามจำนวนเป็นจำนวนเฉพาะ
$a_1a_2a_3=-(b^3+1)$
$a_1+a_2+a_3=b^2$
$a_1a_2+a_2a_3+a_1a_3=0$

ถ้าจะใช้หลักเลขคู่เลขคี่จะได้ไหม

$a,b \ $เป็นจำนวนเฉพาะ $ \ a^3-(a^2)(b^2)+b^3=-1$

เพราะว่า a, b เป็นจำนวนเฉพาะ

ดังนั้น $a^3, \ b^3 \ $เป็นจำนวนคี่ (ยกเว้น 2)

และ $a^2, \ b^2 \ $ ก็เป็นจำนวนคี่ (ยกเว้น 2)

$a^3 + b^3 \ $ ---> คี่ + คี่ = คู่

$a^2 \times b^2 \ $ ---> คี่ x คี่ = คี่

ดังนั้น$ \ a^3-(a^2)(b^2)+b^3= \ $ผลลัพธ์เป็นจำนวนคี่

เมื่อกี้ใส่เครื่องหมายผิดเป็น

$a^2 + b^2 \ $ ---> คี่ + คี่ = คู่

ตอนนี้ใส่เครื่องหมายถูกแล้ว ก็ยังสรุปไม่ได้

ผมลองแยกตัวประกอบแล้วใช้ความเป็นจำนวนเฉพาะมาช่วยครับ
$a^3-a^2b^2+b^3=-1$
ด้วยความสมมาตร ขอกำหนดให้ $a\geqslant b$
ย้ายข้าง $b^3+1=a^2b^2-a^3$
$(b+1)(b^2-b+1)=a^2(b^2-a)$
ได้ว่า $a^2$ หาร $(b+1)(b^2-b+1)$ ลงตัว
สังเกตว่า $a^2\geqslant b^2> b^2-b+1$ ดังนั้นเป็นไปไม่ได้ที่ $a^2|b^2-b+1$
เนื่องจาก $a$ เป็นจำนวนเฉพาะ สรุปได้ว่า $a|b+1$
แต่ $a\geqslant b$ เพราะฉะนั้น $a=b+1$
จำนวนเฉพาะที่ห่างกันหนึ่งมีแค่ $2,3$ ครับ
ดังนั้นคำตอบจึงมีแค่ $(2,3)$ กับ $(3,2)$