ฝึกเบสิค คอมบินาทอริก
 

ช่วยหน่อยครับ ผมไม่ค่อยรู้หลักคอมบินาทอริกเท่าไหร่ ช่วยผมหน่อยนะครับ :please:
ขอให้แสดงวิธีทำอย่างละเอียดหน่อยนะครับ
1. มีหีบ 5 ใบ เรียงกันจะมีวิธีเอาบอล 3 ลูกใส่ในหีบ ทีละลูกๆ ทั้งหมดกี่วิธี(ตอบ 125)
2. มีถุง 2 ใบ ใบแรกมีบอลสีแดง 3 ลูก สีดำ 2 ลูก สีขาว 1 ลูก (ซึ่งแต่ละลูกถือว่าต่างกัน) ใบที่
สองมีบอลสีแดง 2 ลูก สีดำ 2 ลูก สีขาว 2 ลูก หยิบลูกบอลจากใบแรกไปใส่ในใบที่สอง 1 ลูก และ
หยิบจากใบที่สองออกมา 1 ลูก มีกี่วิธีซึ่งบอลที่หยิบจากใบแรกเป็นสีแดง และบอลที่หยิบออกจากใบที่
สองไม่ใช่สีขาว
3. ข้อสอบฉบับหนึ่งประกอบด้วย โจทย์ปัญหาแบบถูก-ผิด 5 ข้อ และปรนัย (ก,ข,ค,ง) อีก 7 ข้อ
จะมีวิธีเดาข้อสอบที่ไม่ซ้ำกันเลยได้กี่แบบ
4. กล่องใบหนึ่งบรรจุสลากเลข 0 ถึง 9 อย่างละใบ ถ้า
หยิบมา 2 ใบ (ทีละใบโดยไม่ใส่คืน) จะมีกี่วิธีที่ผลรวมเลข
เป็นจำนวนคี่
5.ต้องการเลือกประธาน รองประธาน และเหรัญญิก ตำแหน่งละ 1 คน โดยเลือกจากนักเรียน
ชาย 5 คน หญิง 4 คน จะเลือกได้กี่ชุด หากกำหนดว่าประธานและรองประธานเป็นเพศเดียวกัน
และคนละเพศกับเหรัญญิก
6.ใช้ตัวเลข 0 ถึง 5 มาสร้างจำนวน 3 หลัก
จะสร้างได้กี่จำนวน ถ้ากำหนดให้
(6.1) แต่ละหลักไม่ซ้ำกัน
(6.2) เป็นจำนวนคี่ และแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน
(6.3) มีค่ามากกว่า 350 และแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน
(6.4) หาร 10 ลงตัว

ขอมาหัดทำด้วยคน ถูกผิดยังไง ท่านผู้รู้ช่วยแนะนำด้วยครับ



บอลลูกที่ 1 ใส่หีบได้ 5 แบบ


บอลลูกที่ 2 ใส่หีบได้ 5 แบบ


บอลลูกที่ 3 ใส่หีบได้ 5 แบบ

ดังนั้นสามลูก ก็ใส่ได้ 5 x 5 x 5 = 125 แบบ

คำถามแบบนี้ จัดว่าเป็นคำถามที่ไม่ชัดเจนครับ คำตอบมีได้หลายแบบ

การแจกของลงกล่อง เราจะแบ่งเป็น 4 ประเภท
1. ของต่าง, กล่องต่าง
2. ของเหมือน, กล่องต่าง
3. ของต่าง, กล่องเหมือน
4. ของเหมือน, กล่องเหมือน

ในที่นี้ ถ้าหีบแต่ละใบถือว่าต่างกัน, ลูกบอลแต่ละใบถือว่าต่างกัน

จำนวนวิธีจะเท่ากับ (5)(5)(5) = 125 วิธี

หรือเท่ากับสัมประสิทธิ์ของ $x^3/3!$ จาก exponential generating function $(1+x/1!+x^2/2!+...)^5 = e^{5x} = \sum_{r = 0}^{\infty}\frac{(5x)^r}{r!}$

แต่ถ้าหีบแต่ละใบถือว่าต่างกัน, ลูกบอลแต่ละใบถือว่าเหมือนกัน

จำนวนวิธีจะเท่ากับจำนวนคำตอบของสมการ a+b+c+d+e=3 โดยที่ a, b, c, d, e เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ

หรือเท่ากับสัมประสิทธิ์ของ $x^3$ จาก ordinary generating function
$(1+x+x^2+...)^5 = (1-x)^{-5} = \sum_{r = 0}^{\infty}\binom{5+r-1}{r}x^r = \sum_{r = 0}^{\infty}x^r\binom{r+4}{4} $

ซึ่งเท่ากับ $\binom{7}{4} = 35 $ วิธี เป็นต้นครับ.

เริ่มมั่วแล้วนะครับ :haha:

6 เลือก 3 จึงมี $\frac{6!}{3!} = 120$ วิธี




โอกาสที่ลูกที่หยิบจากใบแรกเป็นสีขาว = 1/6 ดังนั้น ในถุงที่สอง โอกาสจะหยิบเป็นลูกสีขาว เท่ากับ $\frac{2\frac{1}{6}}{7} = \frac{13}{42}$


ถุงที่สอง 7 เลือกขาว 3 จึงมี $\frac{7!}{(7-3)!} = 210$วิธี

ดังนั้นโอกาสที่จะเป็นสีขาวเท่ากับ $ \frac{13}{42} \times 210 = 65$ วิธี

จึงเป็นวิธีที่ไม่ใช่สีขาว เท่ากับ 210 - 65 = 145 วิธี

มามั่วต่อ

ข้อที่1 เลือกคำตอบได้ 2 วิธี
ข้อที่2 เลือกคำตอบได้ 2 วิธี
ข้อที่3 เลือกคำตอบได้ 2 วิธี
ข้อที่4 เลือกคำตอบได้ 2 วิธี
ข้อที่5 เลือกคำตอบได้ 2 วิธี

ข้อที่6 เลือกคำตอบได้ 4 วิธี
ข้อที่7 เลือกคำตอบได้ 4 วิธี
ข้อที่8 เลือกคำตอบได้ 4 วิธี
ข้อที่9 เลือกคำตอบได้ 4 วิธ
ข้อที่10 เลือกคำตอบได้ 4 วิธี
ข้อที่11 เลือกคำตอบได้ 4 วิธี
ข้อที่12 เลือกคำตอบได้ 4 วิธี

จึงมีวิธีเดาทั้งหมด $2^5 \times 4^7 = 32 \times 16384 = 524288$ วิธี แยะจัง :haha:

นับเอา
09 07 05 03 01 (หมายถึงสองตัวบวกกัน)
18 16 14 12 10
29 27 25 23 21
38 36 34 32 30
49 47 45 43 41
.
.
98 96 94 92 90

รวม 50 แบบ (บางแบบก็ซ้ำกัน)

ประธานและรองประธานเป็นชาย
เลือกประธานได้ 5 วิธี
เลือกรองประธานได้ 4 วิธี
เลือกเหรัญญิกได้ 4 วิธี

รวม 5 x 4 x 4 = 80 ชุด

ประธานและรองประธานเป็นหญืง
เลือกประธานได้ 4 วิธี
เลือกรองประธานได้ 3 วิธี
เลือกเหรัญญิกได้ 5 วิธี

รวม 4 x 3 x 5 = 60 ชุด

รวม 80 + 60 = 140 ชุด

ข้อ 4....เริ่มจากผลลัพธ์ของการบวกเลข 0-9 สองจำนวนเป็นเลขคี่ แสดงว่า ใบหนึ่งคู่ ใบหนึ่งคี่
เลขคี่ มี 5 ใบ เลขคู่มี 5 ใบ ผมรวมศูนย์ไปด้วยกับเลขคู่ ดังนั้นเกิดได้ 25 แบบ แต่ใบแรกกับใบหลัง สลับกันได้อีก 2 วิธี
รวมเป็น 50 วิธี

ข้อ2...ผมคิดได้ 15 วิธี
1.หยิบลูกสีแดงจากถุงแรก ได้ 3 วิธี
2.หยิบลูกอื่นที่ไม่ใช่สีขาวจากถุงที่สอง.....ตอนนี้จากเดิมมีลูกแดง 2 ลูก จะเพิ่มเป็น 3 ลูกจากลูกที่หยิบมาจากถุงแรก ดังนั้นหยิบได้ 5 วิธี
รวมงาน2ขั้นได้ 15 วิธี

ข้อ 3 ผมงงโจทย์ที่ถามว่าวิธีที่เดาข้อสอบที่ไม่ซ้ำกัน....ก็เวลาเราตอบ เราก็เขียนได้แค่ถูกหรือผิด กับ กา ก. ข. ค. ง. ซึ่งไม่ว่าจะเดายังไงจำนวนแบบที่เกิดขึ้นก็ไม่ซ้ำกันอยู่แล้ว ผมงงกับคำว่า"ไม่ซ้ำกัน"...หรือว่าผมคิดมากไป วิธีเดาข้อสอบก็ตอบอย่างที่ป๋าBankerเฉลย

6.1 สร้างเลข3หลักไม่ซ้ำกัน
หลักร้อย เว้น0...ได้ 5วิธี
หลักสิบ ได้ 5 วิธี
หลักหน่วยได้ 4 วิธี รวม 100 จำนวน
6.2 เลขคี่..ลงท้ายด้วย 1,3,5
หลักหน่วยลงได้ 3 วิธี
หลักร้อยลงได้ 5 วิธี
หลักร้อยลงได้ 3 วิธี..รวมได้ 45 จำนวน
6.3 มากกว่า 350 ไม่ซ้ำกัน
หลักร้อย ลงได้ 2 วิธี
หลักสิบลงได้ 5 วิธี
หลักหน่วยลงได้ 4 วิธี...รวมได้ 40 จำนวน
6.4 น่าจะเขียนว่า"หารด้วย10ลงตัว"...ไม่ได้บอกว่า..ไม่ซ้ำกัน
ลงท้ายด้วย 0.....หลักหน่วยมีได้ 1 วิธี
หลักสิบลงได้ 6 วิธี
หลักร้อยลงได้ 5 วิธี...รวมได้ 30 จำนวน

เอามาเพิ่ม

น้องsirenขยันจังครับ.....ไม่รู้ว่ากำลังฟิตไปแข่งสอบอะไรหรือเปล่าครับ
คืนนี้ขอตัวแล้วครับ เจ้าตัวเล็กรออยู่ครับ
พรุ่งนี้ถ้าไม่มีใครช่วยเฉลย ผมจะเข้ามาเก็บให้ เฉพาะข้อที่ผมทำได้

ข้อ 1 ได้ว่า ตัวแรกเลือกได้ 4 ตัวต่อไปห้ามซ้ำตัวเดิม $4$ x $3$ x $2 = 24$ วิธี
ข้อ 2 a.มี 5 ใบ แต่ละใบเลือกลงได้ 2 ตู้ คือ $2$ x $2$ x $2$ x$ 2 $x $2 = 32$ วิธี
b. ไม่รู้แปลความหมายคือห้ามใส่ตู้เดียวกัน 2 ครั้งรึเปล่า ถ้าใช่ ได้ $2$ วิธี ครับ คือเริ่มจากหยอดตู้ 1 ก่อน กับตู้ 2 ก่อน
ข้อ 3 ถ้าโจทย์นี้มีแต่ละข้อมีข้อถูก 1 ข้อ ใน1ข้อจะสามารถเลือกข้อผิดได้ $2$ วิธี มี 10 ข้อก็ $2^{10}$ วิธีครับ

ข้อ 9 จำนวนวิธี = จำนวนววิธีการใส่ทั้งหมด - ( ถูกหมด หรือผิดหมด)

= $2^9 - 2 = 510$ วิธีครับ

้ข้อ 8 เราแค่เอากิ๊กแต่ละคนมาแตกกิ่งโดยเลือกแค่ ไปกับไม่ไป จะได้ 2^5 - 1 วิธีครับ (ไม่เอา ที่ไม่ไปทุกคนน่ะครับ)

ข้อ 7 แยกกรณี รถสองแถว รถตู้ รถเมล

กรณี รถสองแถวได้ 3 x 2 = 6
กรณี รถตู้ ได้ = 2 x 1 = 2
กรณี รถเมลได้ = 2 x 1 = 2

รวม 10 วิธีครับ

ข้อ 6 ได้จำนวน โดยคิดว่า มันน่าจะต้องเข้าและออกทีละห้อง

ได้ 2 x 1 x 3 x 2 x 4 x 3 = 144 วิธีครับ

ข้อ 5 แยกกรณี รถเมลต่อเรือกับ เครื่องบินอย่างเดียว

กรณีแรกได้ 5 x 3 = 15 วิธี และเครื่องบินอย่างเดียว ได้ 4 วิธีครับ

ข้อ 4 ไม่รู้ผมตีความโจทย์ถูกหรือเปล่าครับ ผมคิดว่ามันน่าจะเป็นการให้ สมชายกับสมหญิงขึ้นบันได้อันเดียวกัน แล้ว สมใจแยกไปขึ้นคนเดียวได้ 4 x 3 = 12 วิธีครับ