คอมบิข้อนี้ทำไงดีครับ
 

ระบายสีระนาบด้วยสีสองสี จงแสดงว่ามีสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านเป็น $1$,$2$,$\sqrt{3}$ ที่มีจุดยอดทั้งสามจุเป็นสีเดียวกันเสมอ

ช่วยhintหน่อยครับ:please::please:

Hint วาดวงกลมหนึ่งหน่วย ที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางที่จุดปลายทั้งสองเป็นสีเดียวกัน (ทำไมต้องมี?)

อย่างนี้รึเปล่าครับ

ให้2จุดนั้นเป็นสีนงคือXกับYห่างกัน2หน่วย (เนื่องจาก ในระนาบสองสีจะมีจุดที่อยู่ห่างกันป็นระยะ n ใดๆเสมอ)
สร้างสามจดบนวงกลมโดยให้สามเหลี่ยม AXY BXY CXY เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีความยาวด้านเป็น 1, รูท3 ,2

กรณีที่ มีจุดใด1จุดในA,B,Cเป็นสีนง. เลือกจุดนั้น กับX,Y จะทำให้โจทย์จะเป็นจริง

กรณีที่ ทั้ง3จุดA,B,C เป็นสีแดงทั้งหมด ACเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางพอดีเพราะAY^2+CY^2=1+3=AC^2 ก็จะได้ว่าสามเหลี่ยมABCสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีความยาวด้านเป็น 1, รูท3 ,2 และมีสีของจุดยอดเป็นสีเดียวกันหมดด้วย คือสีแดง

:confused:

ผมก็ทำประมาณนั้นครับ

ขอบคุณครับ

เอ่อไม่ทราบว่าพอจะมีโจทย์แนวระนาบสีจุดเส้นไรพวกนี้อีกมั้ยครับอยากจะลองฝึกทำน่ะครับ

:please::please:

จากโจทย์เป็น coloring 2 สีทั่วระนาบ $\mathbb{R}^2$

ดังนั้นสามารถเลือกให้จุด XY ห่างกัน 2 หน่วยที่มีสีเดียวกันได้

ต่อมาสร้างให้ Z เป็น Midpoint XY กางวงเวียนรัศมี 1 หน่วยมี Z เป็น center

วาดวงกลมขึ้นมา เลือกให้จุด $a_{1}$ อยู่บนวงกลมที่ทำให้ $a_{1}X=1$ และ $a_{1}Y=\sqrt{3}$

โดยที่ $a_{1}$ อยู่ในควอดรัน ซ้ายบน จากนั้นสร้าง $a_{2},a_{3},a_{4}$ ไล่ไป

สร้างแบบสมมาตรลักษณะเดียวกันวนตามเข็ม ก็เท่ากับว่ามี 6 จุดบนวงกลมในระนาบ

เรียงตามเข็มเป็น $a_{1},a_{2},Y,a_{3},a_{4},X$ เลือกให้ $a_{i}$ เป็นนก 4 ตัว

เลือกให้สี 2 สีเป็นรัง 2 รัง จากหลักรังนก จะมี $a_{i}$ อย่างน้อย $\left\lceil\,\frac{4}{2}\right\rceil = 2$ ที่มีสีเดียวกัน

ถ้าหากมีอย่างน้อย 2 หรือ 3 จุด ที่ต่างกับสีของ XY ให้เลือกสีที่เหลือ จะได้ตามที่โจทย์ต้องการ

ดังนั้นเป็นการเพียงพอที่จะพิจารณาแค่กรณีที่ มี 4 จุดพอดีที่มีสีต่างกับ XY (case ที่ $a_{i}$ สีเดียวหมด แต่ต่าง XY)

จากการสร้างตอนแรกเรามี $Xa_{1}=Xa_{3}=Ya_{4}=Ya_{2}=1$

และมี $Ya_{1}=Ya_{3}=Xa_{4}=Xa_{2}=\sqrt{3}$

พิจารณารูป 6 เหลี่ยมที่มี ต่อจากนี้จะพิสูจน์ว่ารูป 6 เหลี่ยมเป็น regular 6-gon

เพราะว่าจากการสร้างจะได้ $Za_{2}=ZY=1$ (รัศมี) และเท่ากับ $Ya_{2}$ ด้วย (เพราะสร้าง)

จะได้สามเหลี่ยมด้านเท่ามุม 60 พอดี ทำแบบเดียวกันกับ $ZXa_{1}$ จะได้ด้านเท่าเหมือนกัน

ดังนั้นมุม $a_{1}Za_{2}$ จะเท่ากับ 60 ด้วย และจาก cosine law จะได้ว่า $a_{1}a_{2}=1$ ด้วย

ทำแบบเดียวกันจะได้ว่า $a_{4}a_{3}$ ก็เท่ากับ 1 เหมือนกัน ดังนั้นรูปนี้เป็น regular 6-gon

จากการที่เป็นรูป reg.... (ช่างมันเหอะ) มันจะได้ $a_{2},Z,a_{4}$ collinear ดังนั้น $a_{2}a_{4}$

มีขนาดเป็น 2 และผ่าน Z มันจึงเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีความยาวด้านตามที่โจทย์การ

และจากที่แบ่ง case ไว้ตอนต้นคือมีสีเดียวกันหมด 4 จุดแต่ต่างกับสีของ XY

เลยได้ว่ามีสามเหลี่ยมตามที่โจทย์ต้องการที่ได้จากจุดยอด 3 ใน 4 จุดของ $a_{i}$ ก็จบ

ปล.ที่พิมพ์ให้ด้วยแนวคิดคล้ายๆกันเพราะเห็นว่า solution ข้างบนยังไม่สมบูรณ์ครับ

คือ ABC ที่ได้เป็นมุมฉากก็จริง แต่ความยาวไม่มีการแสดงว่าเป็น $1,\sqrt{3}$ ตามโจทย์

ลองดูอันนี้ครับ พื้นฐานๆ เก็บไว้เป็น tool ระยะยาว

http://www.cut-the-knot.org/proofs/two_color.shtml

ระดับยากขึ้นไปลองดูโจทย์เกี่ยวกับ combinatorial geometry ครับ

ลองเอาไป search google ดูครับ พิมพ์ olympiad ต่อท้ายไปด้วย

มีเพจของ Yufei Zhao กับ Alexander Remorov

สำหรับเนื้อหาเกินๆ สอวน ลองกดเข้าไปดูครับ อันไหนไม่จำเป็นก็ข้ามไป

ถ้าผมนึกอะไรดีๆออกเดี๋ยวเอามาให้ทีหลังครับ พักนี้ไม่มีเวลาเลย

ปล. เรื่องกราฟ อ่านเกินๆไปเลยดีกว่าครับ

อีกหัวข้อสำหรับ combinatorics โอลิมปิกหลังๆนี้

ผมว่าอ่าน probabilistic methods เพิ่มไปด้วยก็ OK

ถ้าหากว่ามีเวลาจริงๆ เพราะมันเยอะ เดี๋ยวจะหลงทางเปล่าๆ

probabilistic methods ผมว่าโกงดีครับ 555 แต่อยากได้โจทย์ที่ใช้วิธีนี้หน่อยครับ (ที่ไม่ใช่ตรงๆ)

สงสัยนิดนึงครับว่า ถ้าเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากรูปอื่นๆข้อความนี้น่าจะไม่จริงใช่มั้ยครับ เพราะจากเฉลยมันบังเอิญว่ารูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากการลากจุดต่อกันดันเกิดเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากแบบเดียวกันพอดี:confused:

จริงๆ มันจริงตลอดแหละครับ แต่รูปในข้อนี้มันง่ายและเหมาะที่จะเอามาเป็นข้อสอบมั้งครับ :)

จริงสำหรับสามเหลี่ยมใดๆเลยรึเปล่าครับ

ไม่จริงสำหรับสามเหลี่ยมด้านเท่าครับ (ลองพิสูจน์ดู)

รบกวนช่วยเขียน proof ให้ดูหน่อยได้มั้ยครับ

ผมนึกออกแค่บางส่วน คิดว่าไอเดียของผมยังมีปัญหาอยู่

สมัยผมเรียนปีหนึ่งที่จุฬา นั่งฝันถึงออกแบบสมการทรงโดนัท ทรงรูปโลก แล้วทิ้งไป ทวนอีกทีตอนที่เรียนป.โท ที่ลาดกระบัง ใช้ Matlab เขียนโค้ด ทรงรูปโลก กับ ทำเท็กซ์เจอร์ด้วย Bspline กับ เจอการทำเท็กซเจอร์แบบเอาข้อมูลภาพในรูปของเมตริกซ์มาหมุน whirl ไปเรื่อยๆ แต่ไม่ได้เอามาแมพใส่รูปโลก ก็หันไปสนใจ Nowaday Technology ที่มาจากอเมริกา

อ้อ แค่รูปโลกอย่างเดียวกับขึ้นแบบได้ 6 แนวทาง การสร้างสมการคณิตศาสตร์ จากที่ผมค้นเปเปอร์ต่างประเทศดู เช่น (x,y) = C@R*tan($\theta$)

ผมไม่ได้เจนเนอร์เรทผลของสมการให้ดู ในที่นี้นะครับ .

ลองตอบคำถามง่ายๆพวกนี้ดูหน่อย

1.คุณชื่ออะไร เรียนจบจากที่ไหน ปีไหน ทำงานอะไรอยู่

2.คุณชอบคณิตศาสตร์หรือไม่ เพราะอะไร ทำไมถึงเล่น mathcenter

3.ทำไมพูดถึงจุฬากับอ.ไพศาลบ่อยๆ ชอบเขา นับถือเขา ?

4.ลองบอกมาหน่อยสิว่าเห็นสีอะไรบ้าง มีกี่สี