โจทย์พหุนามโมนิก ช่วยหน่อยครับ
 

กำหนด $p(x)$ เป็นพหุนามโมนิคที่ สปส. เป็นจำนวนเต็มจงแสดงว่าถ้ามีจำนวนเต็ม$a,b,c,d$ ที่ต่างกัน ซึ่งทำให้$p(a) =p(b) =p(c) =p(d) = 5$ แล้วจะไม่มีจำนวนเต็ม $k$ ซึ่ง $p(k) = 8 $

จากเงื่อนไขโจทย์

$P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)Q(x)+5$ สำหรับบาง $Q(x)$

ถ้ามี $k$ ซึ่ง $P(k)=8$ จะได้ว่า

$3=(k-a)(k-b)(k-c)(k-d)Q(k)$

ดังนั้น

$|k-a||k-b||k-c||k-d|$ หาร $3$ ลงตัว

แต่ $3$ มีตัวหารบวกเพียงแค่สองตัว คือ $1$ และ $3$

ดังนั้นจะต้องมี $|k-a|,|k-b|,|k-c|,|k-d|$ อย่างน้อย $3$ ตัวที่มีค่าเป็น $1$

ลองให้เหตุผลต่อดูครับว่าทำไมถึงเป็นไปไม่ได้ที่จะมีสามจำนวนมีค่าเป็น $1$ พร้อมกัน

จากข้อมูลที่ให้มา แสดงว่าเราสามารถเขียน P(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)Q(x) + 5
โดยที่ a, b, c, d เป็นจำนวนเต็มที่แตกต่างกัน และ Q(x) เป็นพหุนามโมนิกบนจำนวนเต็ม

สมมติให้มีจำนวนเต็ม k ที่ทำให้ P(k) = 8
แต่ P(k) = (k-a)(k-b)(k-c)(k-d)Q(k) + 5
ดังนั้นแสดงว่า (k-a)(k-b)(k-c)(k-d)Q(k) = 3

ถ้า k มีค่าเท่ากับ a หรือ b หรือ c หรือ d แล้วจะทำให้ (k-a)(k-b)(k-c)(k-d)Q(k) = 0 ซึ่งไม่เท่ากับ 3 แน่นอน

ถ้า k ไม่เท่ากับ a, b, c, d ใดเลย จะได้ว่า (k-a) , (k-b), (k-c), (k-d) เป็นจำนวนเต็มที่ต่างกันทั้งหมด ส่วน Q(k) อาจจะเท่ากับบางค่าใน (k-a) , (k-b), (k-c), (k-d)

แต่เนื่องจาก 3 ไม่สามารถเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเต็มที่ต่างกัน 4 จำนวนได้ อย่างมากก็ 2 จำนวน คือ 3 = (1)(3) หรือ (-1)(-3) ดังนั้นจึงไม่เป็นไม่ได้ที่ (k-a)(k-b)(k-c)(k-d)Q(k) = 3

Find all the positve integer$a,b,c,d$ so that
$a+b+c+d-3 = ab = cd$

Hint:

ให้ $ x= a-1 \,\, , y= b-1 \,\, , z= c-1 \,\, ,w=d-1$

จะได้สมการ $x+y=zw$ และ $z+w=xy$ (ในกรณี nonzero ยัง imply $ (\frac{1}{x}+ \frac{1}{y})(\frac{1}{z}+ \frac{1}{w}) =1 $ ด้วย)

จากนั้น ลองพิจารณากรณีที่มีบางตัวใน x,y,z,w เป็น 0 ก่อน แล้วพิจารณา case ที่มากกว่าหรือเท่ากับ 1

อ่า .... ตรง (ในกรณี nonzero ยัง imply ($\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(\frac{1}{z}+\frac{1}{w})=1$ ด้วย) มันมาได้ยังไงเหรอครับ

nice hint :
Case 1. $\exists x,y,z,w = 0$
มีตัวใดตัวหนึ่ง ใน $x,y,z,w$ เป็น 0
จาก $x+y = zw$ , $z+w = xy$
ให้ สมมติ $x = 0 , y =zw , z+w = 0$
$\frac{1}{z}+ \frac{1}{w} = 0$ ในทำนองเดียวกัน พบว่า ไปไม่ได้ในทุกกรณีที่ตัวใดตัวหนึ่งใน $x,y,z,w $เป็น$ 0$

ในกรณีที่มี x,y,z,w ที่เป็น 0 มากกว่า 1 ตัว ได้ว่า$ x=y=z=w = 0$
Cases 2. $\forall x,y,z,w > 0$
$x+y= zw, z+w = xy$
จาก 2 สมการได้ว่า $\frac{1}{z}+ \frac{1}{w} = \frac{1}{x}+\frac{1}{y} $
ผมยัง งงตรง imply เหมือนพี่ suwiwat เลยครับ ถ้าเอามาเข้าด้วยกัน :please: เนื่องจาก$ x,y,z,w \in \mathbb{N} $
$\frac{1}{a_1}+ \frac{1}{a_2} = 1 , a_1 , a_2 \in \left\{\,\right. x,y,z,w\left.\,\right\} $
ได้ว่า $(a_1-1)(a_2-1) = 1, a_1 = a_2 = 2$
สรุป $x,y,z,w = 0 , a = b=c=d = 1$ ไม่รู้ถูกรึเปล่า :please:
$x,y,z,w = 2 , a=b=c=d= 3 $

($\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(\frac{1}{z}+\frac{1}{w})=1$
$(\frac{x+y}{xy})(\frac{z+w}{zw})=1$
$(\frac{zw}{xy})(\frac{xy}{zw})=1$

ok เจ๋ง !!!!!!!!! เข้าใจแล้วครับ

ขอบคุณครับ :please:
ช่วยตรวจคำตอบให้หน่อยครับ ว่าถูกรึเปล่าครับ

คำตอบ เช่น (a, b, c, d) = (4, 3, 2, 6), (4, 3, 6, 2), (3, 4, 2, 6), (3, 4, 6, 2) หายไปไหนครับ.

ผิดตั้งแต่เศษส่วนที่มาเท่ากัน มึนมากก :haha::sweat::cry::nooo:

Hint (2)
ใน case nonzero ลองพิสูจน์ให้ได้ก่อนว่า ไม่เกิดเหตุการณ์ $x,y,z,w \geq 3 $

แสดงว่า ต้องมีบางค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 2 แล้วค่อยมาแบ่ง case ย่อยอีกครั้ง