ช่วยตรวจทานหน่อยครับ
 

1.จงหาเซตคำตอบของอสมการ \(\displaystyle{\frac{|2x-1|}{|x+3|-5}<1} \)

ผมได้ \(\displaystyle{\big(-8,\frac{1}{3}\big) \cup \big[ \frac{1}{2},2 \big)} \) คิดโดยวิธีแบ่งเป็น 3 ช่วงที่ เป็นลบ 2 ตัว ตัวเดียว แล้วก็ไม่เป็นเลยครับ

*******************************************

2.จงหาจำนวนลำดับที่มีความยาว 12 ที่สร้างจากเลข 1 จำนวน 5 ตัว เลข 2 จำนวน 4 ตัว และ เลข 3 จำนวน 3 ตัว

ถ้าอ่านจากซ้ายไปขวา จะต้องพบเลข 1 อย่างน้อยเลข 1 ตัว ก่อนพบเลข 2 และพบเลข 2 อย่างน้อย 1 ตัว ก่อนพบเลข 3

ข้อนี้ผมแบ่งกรณีเป็น 5 กรณี ได้ 1650 วิธี
*******************************************

3.ให้ \(\displaystyle{M\ =\ a_1+a_2+a_3+...+a_m\quad ,\quad a_1 \geq 1}
\)
จงหาจำนวนลำดับที่มีความยาว m ที่สร้างจากที่สร้างจาก i จำนวน \( \displaystyle{a_i} \) ตัว
i = 1,2,3,...,m โดนที่เมื่ออ่านจากซ้ายไปขวาจะต้องพบ k อย่างน้อย 1 ตัว ก่อนที่จะพบ k + 1 สำหรับทุกๆ
k = 1,2,3,..., k - 1
ข้อนี้ ไม่มีอะไรคืบหน้าเลยครับ

ข้อนี้คิดถูกแล้วครับ ส่วนข้ออื่นยังไม่มีเวลาทดให้ครับ รอคนอื่นละกันนะ

ผมก็แบ่งเป็น 5 กรณีเหมือนกันครับ คือกรณีที่ขึ้นต้นด้วยเลข

12 ...
112 ...
1112 ...
11112 ...
111112 ...

ดังนั้นจำนวนลำดับทั้งหมดคือ\[\sum_{i=1}^5\frac{(11-i)!}{(5-i)!3!3!}=
4200+1680+560+140+20=6600\]ไม่ตรงกับของน้อง R-Tummykung de Lamar นี่นา :rolleyes:

ส่วนข้อ 3. ยังไม่เข้าใจโจทย์เลยครับ :p

กรณีทั้ง 5 นั้นผมว่าน่าจะเป็นอย่างงี้นะครับ
1. ขึ้นต้นด้วย 12 ... จะได้ \( \frac{10!}{4!3!3!} \) วิธี = 4200
2. ขึ้นต้นด้วย 112 ... จะได้ \( \frac{9!}{3!3!3!} \) วิธี = 1680
3. ขึ้นต้นด้วย 1112 ... จะได้ \( \frac{8!}{2!3!3!} \) วิธี = 560
4. ขึ้นต้นด้วย 11112 ... จะได้ \( \frac{7!}{3!3!} \) วิธี = 140
5. ขึ้นต้นด้วย 111112 ... จะได้ \( \frac{6!}{3!3!} \) วิธี = 20

(เผลอแปปเดียว มีคนตอบไปก่อนจนได้ :D)

ข้อ 3 น่าจะหมายความว่า มี 1 อยู่ a₁ ตัว, 2 อยู่ a₂ ตัว ...
และโจทย์ต้องการให้หาลำดับ ที่เมื่ออ่านจากซ้ายไปขวา แล้ว พบ 1 ก่อน 2 , 2 ก่อน 3 ... k-1 ก่อน k
และเค้าให้ M มา น่าจะให้เราเขียนคำตอบในรูป M :confused:

อ๋อ...เข้าใจแล้ว ขอบคุณครับ จะลองพยายามคิดดูครับ

ได้แล้วครับ แต่ยังไม่แน่ใจ แล้วก็ยังยาวเหยียดจากยะลาไปเชียงรายเลยครับ

ผมใช้แนวคิดอีกแบบนึงนะครับ ขอทำข้อ 2 ก่อน
มี 1 จำนวน 5 ตัว
มี 2 จำนวน 4 ตัว
มี 3 จำนวน 3 ตัว

ผมเอา 3 มาวางเลย แล้วเอา 2 มาแปะหน้า
2 3 3 3
จะเหลือที่ว่างสำหรับแทรก 2 ทั้งหมด 4 ช่อง (โดยที่ 2 ใช้ไปแล้ว 1 ตัว เหลือ 4 ตัว)
2 \( \fbox{__}\) 3 \( \fbox{__}\) 3 \( \fbox{__}\) 3 \( \fbox{__}\)
ก็จะมีวิธีทั้งหมด \( \displaystyle{{3+4-1 \choose 3}={6 \choose 3}=20} \)

หลังจากวาง 2 และ 3 ไปเรียบร้อยแล้ว 7 ตัว ก็เอา 1 ไปต่อหน้า
1 \( \fbox{__}\) _ \( \fbox{__}\) _ \( \fbox{__}\) _ \( \fbox{__}\) _ \( \fbox{__}\) _ \( \fbox{__}\) _ \( \fbox{__}\) _ \( \fbox{__}\)
1 มี 5 ตัว ใช้ไปแล้ว 1 ตัว เหลือ 4 ตัว ลง 8 ช่อง
\(\displaystyle{{4+8-1 \choose 4}={11 \choose 4}=330} \)

ดังนั้น วิธีทั้งหมดคือ \(\displaystyle{20 \times 330\ =\ 6600\ \ } \) วิธี
ปล.ตอนแรกเขียน 6600 แล้วครับ แต่ไม่รู้ทำไมมาพิมพ์แล้วกลายเป็น 1650 :D

แล้วก็ขอขยายแนวความคิดมาข้อ 3 นะครับ
ลำดับนี้ สร้างจาก 1 จำนวน \( \displaystyle{a_1\ \ }\)ตัว
ลำดับนี้ สร้างจาก 2 จำนวน \( \displaystyle{a_2\ \ }\)ตัว
ลำดับนี้ สร้างจาก 3 จำนวน \( \displaystyle{a_3\ \ }\)ตัว
\(\vdots \)
ลำดับนี้ สร้างจาก m จำนวน \( \displaystyle{a_m\ \ }\)ตัว

ท วาง m จำนวน \( \displaystyle{a_m\ \ }\)ตัวก่อน แล้ววาง m-1 ไปแปะหน้า
m-1 \( \fbox{__}\) m \( \fbox{__}\) m \( \fbox{__}\) m \( \fbox{__}\) ...m \( \fbox{__}\)

จะมีช่องว่างสำหรับวาง m-1 จำนวน \( \displaystyle{a_m+1\ \ }\)ช่อง
m-1 จำนวน \( \displaystyle{a_{m-1}\ \ }\)ตัว ใช้ไปแล้ว 1 เหลือ \( \displaystyle{a_{m-1}-1\ \ }\)
\( \displaystyle{{(a_{m-1}-1)+(a_m+1)-1 \choose a_{m-1}-1}={a_m+a_{m-1}-1 \choose a_{m-1}-1}} \)

ท วาง m กับ m-1 ไปแล้ว \( \displaystyle{a_m+a_{m-1} \ \ }\)ตัว
m-2 \( \fbox{__}\) _ \( \fbox{__}\) _ \( \fbox{__}\) _ \( \fbox{__}\) ..._ \( \fbox{__}\)
จะมีช่องว่างสำหรับวาง m-2 จำนวน \( \displaystyle{a_m+a_{m-1}+1 \ \ }\)ช่อง (ใช้ไป 1 เหลือ\( \displaystyle{a_{m-2}-1\ \ } \)ตัว)
\( \displaystyle{{(a_{m-2}-1)+(a_m+a_{m-1}+1)-1 \choose a_{m-2}-1}={a_m+a_{m-1}+a_{m-2}-1 \choose a_{m-2}-1}} \)


\( \displaystyle{\Large \vdots}\)


ท วาง m กับ m-1 ... 2 แล้ว จำนวน \( \displaystyle{a_m+a_{m-1}+...+a_2 \ \ }\)ตัว
1 \( \fbox{__}\) _ \( \fbox{__}\) _ \( \fbox{__}\) _ \( \fbox{__}\) ..._ \( \fbox{__}\)
จะมีช่องว่างสำหรับวาง 1 จำนวน \( \displaystyle{a_m+a_{m-1}+...+a_2+1 \ \ }\)ช่อง (ใช้ไป 1 เหลือ\( \displaystyle{a_1-1\ \ } \)ตัว)
\( \displaystyle{{(a_1-1)+(a_m+a_{m-1}+...+a_2+1)-1 \choose a_1-1}}\)
\(\displaystyle{= {a_m+a_{m-1}+...+a_1-1 \choose a_1-1}} \)

วิธีทั้งหมดคือ \(\displaystyle{{a_m+a_{m-1}-1 \choose a_{m-1}-1}{a_m+a_{m-1}+a_{m-2}-1 \choose a_{m-2}-1}\cdots {a_m+a_{m-1}+...+a_1-1 \choose a_1-1} } \)

กระจายออกมาตัดทอนเหลือ
\( \displaystyle{\frac{(a_m+a_{m-1}+...+a_1-1)!}{(a_m)!(a_m-1)!(a_{m-1}-1)!\cdots (a_1-1)!(a_m+a_{m-1})(a_m+a_{m-1}+a_{m-2})\cdots (a_m+...+a_2)}} \)
\(\displaystyle{=\frac{(M-1)!}{(a_m)! \prod_{i=1}^m (a_i-1)\prod_{k=1}^{m-2} \sum_{j=m-k}^m a_j} } \)

ใครก็ได้ช่วยทำให้มันดูง่ายกว่านี้ทีครับ :p

หรือถ้าไม่กระจายออกมา จะได้คำตอบดังนี้ครับ
\( \displaystyle{\prod_{i=1}^{m-1} {\big(\sum_{j=m-i}^{m} a_j\big)-1 \choose a_{m-i}-1}} \)

ปล.วิธีใส่ของที่เหมือนกัน ลงกล่องที่แตกต่างกัน เมื่อกล่องมี n กล่อง แล้วของมี r สิ่งนั้น
(แล้วก็กล่องนั้นใส่ได้ไม่จำกัดจำนวน) คือ
\( \displaystyle{\ \ {r+n-1 \choose r}\ \ } \) วิธี
คือเอามาจาก AVISO ครับ ตรวจสอบแล้วว่าตรง เลยเอามาใช้ ใครพอจะรู้ที่มาบ้างครับ :D

ที่มาของ \(\displaystyle{{r + n - 1} \choose r}\) มันมาจากการคิดว่าเอาที่กั้นไปเสียบ แบ่งของให้แต่ละกล่องอะคับ

โจทย์ตั้งต้นคือ ถ้ามี n กล่อง และทุกกล่องต้อง ใส่ของอย่างน้อย 1 ชิ้น เราก็คิดเหมือนกับว่า เอาของ r ชิ้นมาเรียงกัน มีที่ให้เอาไม้กั้นไปเสียบอยู่ r - 1 ที่ แล้วก็ มีไม้ทั้งหมด n - 1 แท่ง

คำตอบจะเท่ากับ \(\displaystyle{{{r - 1} \choose {n - 1}}}\)

คราวนี้ ถ้าแต่ละกล่องสามารถใส่ 0 ชิ้นได้ เราก็สมมติซะว่า แต่ละกล่องใส่ได้อย่างน้อย 1 ชิ้นเหมือนเดิม แต่เพิ่มจำนวนของไปอีก n ชิ้น

คำตอบจะเท่ากับ \(\displaystyle{{{r + n - 1} \choose {n - 1}}}\)

และจากคุณสมบัติของการเลือก จะรู้ว่า \(\displaystyle{{{r + n - 1} \choose {n - 1}} = {{r + n - 1} \choose r}}\)