หา Flux, divergence
 

ผมทำวิธีแรก(parameter)ผมได้คำตอบที่ถูก แต่ผมมาลองทำแบบ divergence กลับได้ค่าอื่น
โจทย์:
เพราะฉะนั้น flux = div.F x volume ผมก็๋เลยได้ 8Pi/3

:kiki: กลับมาแล้วครับ ไปประชุม MCP 2009 Tokyo มา ดีที่เครื่องลง Terminal2 ไม่งั้นลงข่าวหน้าหนึ่ง หรือไม่ได้กลับมาแล้ว....

การคำนวณใน Vector Calculus ต้องระวังที่ Integral และ Concept ในแต่ละเรื่องซึ่งไม่เหมือนกับ Scalar Calculus ครับ ....

การคำนวณ Flux โดยใช้ Divergent Theorem ในรูปอินทิกรัลสามชั้นจะคำนวณกับทรงสามมิติตัน G แต่การคำนวณปกติของ Flux ในรูปอินทิกรัลสองชั้นจะคำนวณกับพื้นผิว S ครับผม



โจทย์ให้หา Flux ของพื้นผิว (รูป A) เวลาคำนวณ Flux ให้ใช้การคำนวณ Flux ปกติ ในรูปอินทิกรัลสองชั้น แต่เมื่อใช้ Divergent Theorem เวลาคำนวณ Flux จะเป็นการคำนวณในรูป B ซึ่งจะใช้การคำนวณ Flux ในรูปอินทิกรัลสามชั้น คำตอบไม่เท่ากันแน่นอน เพราะรูป B มีพื้นผิวเพิ่มขึ้นมาอีก 2 พื้นผิวคือ พื้นผิว z = 0 และ y = 0

เรามาดูคำตอบก็แล้วกัน
--------------------------
รูป A ต้องคำนวณ Flux ในรูปอินทิกรัลสองชั้น ดังนี้
$Flux (รูป A)~=~\int \int_{S_{XY}}^{}\,~F\cdot n~d\sigma $
$~~~~~~~~~~~~~~~=~\int \int_{R_{XY}}^{}\,~(-Pf_x-Qf_y+R)~dA $
$โดยที่ ~ P\vec i +Q\vec j +R\vec k ~=~ (x+y+z)\vec i +2\vec j +3\vec k~และ~f(x,y,z)~อยู่ในรูป~x^2+y^2+z^2~=~4 $

$~~~~~~~~~~~~~~~=~\int \int_{R_{XY}}^{}\,~(-(x+y+\sqrt{4-x^2-y^2} )(\frac{-x}{\sqrt{4-x^2-y^2}} )-2(\frac{-y}{\sqrt{4-x^2-y^2}} )+3)~dA $
$~~~~~~~~~~~~~~~=~\int_{-2}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x^2} }\,~(-(x+y+\sqrt{4-x^2-y^2} )(\frac{-x}{\sqrt{4-x^2-y^2}} )-2(\frac{-y}{\sqrt{4-x^2-y^2}} )+3)~dy~dx $
$~~~~~~~~~~~~~~~=~\frac{38\pi}{3}$

--------------------------
รูป B สามารถคำนวณ Flux ในรูปอินทิกรัลสองชั้นในแต่ละพื้นผิว หรือใช้ Divergent Theorem ดังนี้
วิธีที่ 1 : ใช้ Divergent Theorem
$Flux (รูป B)~=~\int \int \int_{G}^{}\,~div~F~dV $

$~~~~~~~~~~~~~~~=~\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{2}\,~\rho ^2~sin(\phi )~d\rho ~d\phi ~d\theta $
$~~~~~~~~~~~~~~~=~\frac{8\pi}{3}$
หรือ
$Flux (รูป B)~=~\frac{(div~F)(Volumn~ทรงกลมรัศมี~2~หน่วย)}{4}~=\frac{(1)((4/3)\pi(2^3))}{4}~=~\frac{8\pi}{3} $

วิธีที่ 2 : ใช้อินทิกรัลสองชั้นคำนวณกับพื้นผิวทั้งสาม คือ
$พื้นผิว S_1~:~พื้นผิวทรงกลมรัศมี~2~หน่วย~โดยที่~y>0~และ~z>0$
$พื้นผิว S_2~:~พื้นผิว~z=0$
$พื้นผิว S_3~:~พื้นผิว~y=0$
จะได้ว่า
$Flux (พื้นผิว S_1)~=~\int \int_{S_{1}}^{}\,~F\cdot n~d\sigma $
$~~~~~~~~~~~~~~~=~\int \int_{R_{XY}}^{}\,~(-Pf_x-Qf_y+R)~dA $
$โดยที่ ~ P\vec i +Q\vec j +R\vec k ~=~ (x+y+z)\vec i +2\vec j +3\vec k~และ~f(x,y,z)~อยู่ในรูป~x^2+y^2+z^2~=~4 $

$~~~~~~~~~~~~~~~=~\int \int_{R_{XY}}^{}\,~(-(x+y+\sqrt{4-x^2-y^2} )(\frac{-x}{\sqrt{4-x^2-y^2}} )-2(\frac{-y}{\sqrt{4-x^2-y^2}} )+3)~dA $
$~~~~~~~~~~~~~~~=~\int_{-2}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x^2} }\,~(-(x+y+\sqrt{4-x^2-y^2} )(\frac{-x}{\sqrt{4-x^2-y^2}} )-2(\frac{-y}{\sqrt{4-x^2-y^2}} )+3)~dy~dx $
$~~~~~~~~~~~~~~~=~\frac{38\pi}{3}$

$Flux (พื้นผิว S_2)~=~\int \int_{S_{2}}^{}\,~F\cdot n~d\sigma ~~โดยที่ ~ \vec F ~=~ (x+y+z)\vec i +2\vec j +3\vec k~และ~ \vec n~=~-\vec k $
$~~~~~~~~~~~~~~~=~\int_{-2}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x^2} }\,~(-3)dy~dx $
$~~~~~~~~~~~~~~~=~-6\pi$

$Flux (พื้นผิว S_3)~=~\int \int_{S_{3}}^{}\,~F\cdot n~d\sigma ~~โดยที่ ~ \vec F ~=~ (x+y+z)\vec i +2\vec j +3\vec k~และ~ \vec n~=~-\vec j $
$~~~~~~~~~~~~~~~=~\int_{-2}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x^2} }\,~(-2)dz~dx $
$~~~~~~~~~~~~~~~=~-4\pi$

เพราะฉะนั้น
$Flux (รวม)~=~\frac{38\pi}{3}+(-6\pi)+(-4\pi)=\frac{8\pi}{3} $

ขอบคุณครับ...

โอ้ ขอบคุณมากครับ ที่ยังอุตสาห์มาตอบให้

ถ้าคุณชายน้อยไม่มาตอบ คงไม่มีใครตอบผมแล้วละ สงสัยมีคนใจดีแค่คนเดียวใน webboard นี้ 555+

เล่นเหมาแบบนี้ระวังจะไม่มีใครมาช่วยตอบให้ (ในอนาคต)

อิอิ ผมพูดเล่นครับบบบบบ

ขอถามหน่อยครับ คุณชายน้อย มีหนังสือรวมบทความการประชุม MCP 2009 Tokyo ไหมครับอยากได้

แล้วตอนนี้คุณทำงานที่ไหนครับ เห็นตอบใช้ได้เลย ดีจัง

phongphanp@yahoo.com :kaka:

ที่ผมมีเป็น Abstract ต้องขอโทษด้วยจริง ๆ เพราะคงไม่ใช่ตามที่คุณต้องการ ส่วน paper ตัวจริงนั้นต้องรอการรวม proceeding ก่อนอีกนานครับ แต่ผมว่าคุณ Focus ในส่วนงานที่ศึกษาเถอะครับ Elec & Comp เพราะที่ประชุมมีหลาย Session เหมือนจุฬา (อาจเดินสวนนิสิตลาดกระบังก็ได้) ของที่ประชุมค่อนข้างจะลึกเกินไปหน่อย เพราะเป็น Application Model ซะส่วนใหญ่ครับ ขอบคุณครับ ...

คล้ายกับข้อสอบปีหนึ่งของคณะวิทยาศาสตร์จุฬามากๆ เนื้อหาแนวประยุกต์ที่ไม่ซับซ้อนลักษณะนี้

ดีนะ คุณชายน้อย มาอธิบายให้อย่างละเอียดเลย ไม่เข้าใจ หรือตกหล้นตรงไหน ผมก็กลับมาอ่านนี่แหละ 555+