|
ช่วยทีครับ
Prove that if $a,b,c \in R^+$ then
\[2\sqrt{ab+bc+ca} \leq \sqrt{3}\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)} \] Prove that if $n\in N$ then \[\frac{(2n)!}{n!n!} > \frac{4^n}{2\sqrt{n}}\] |
|
อ้างอิง:
ให้ $P(n)$ แทนข้อความ "$ \dfrac{(2n)!}{n!n!} > \dfrac{4^n}{2\sqrt{n}}$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนนับที่มากกว่าหรือเท่ากับ $2$" (1) การแสดงว่า $P(2)$ เป็นจริง เพราะว่า $6 > 4\sqrt{2} = 5.656$ เพราะฉะันั้น $P(2)$ เป็นจริง (2) สมมุติให้ $k \geqslant 2$ และ $P(k)$ เป็นจริง ต้องการแสดงว่า $P(k+1)$ เป็นจริง เพราะว่า $\dfrac{(2k)!}{k!k!}> \dfrac{4^k}{2\sqrt{k}}$ จากการสมมุติว่า $P(k)$ เป็นจริง $\dfrac{(2k+2)!}{(k+1)!(k+1)!}> \dfrac{4^k(2k+1)2(k+1)}{2\sqrt{k}(k+1)(k+1)} =\dfrac{4^k(2k+1)2}{2\sqrt{k}(k+1)} $ เราสามารถพิสูจน์โดยไม่ยากว่า $\dfrac{2k+1}{\sqrt{k}(k+1 )} > \dfrac{2}{\sqrt{k+1} } $ เนื่องจาก $ (2k+1)^2 > 4k(k+1) $ ทุกจำนวนเต็มบวก $k$ เพราะฉะนั้นจะได้ว่า $\dfrac{(2k+2)!}{(k+1)!(k+1)!}> \dfrac{4^k(2k+1)2(k+1)}{2\sqrt{k}(k+1)(k+1)} =\dfrac{4^k(2k+1)2}{2\sqrt{k}(k+1)} $$ \dfrac{(2k+1)^2}{k(k+1)}> 4 $ คูณด้วย $\dfrac{1}{k+1}$ ทั้งสองข้าง และถอดรากที่สองทั้งสองข้าง จะได้ $\dfrac{2k+1}{\sqrt{k}(k+1 )} > \dfrac{2}{\sqrt{k+1} } $ ตามต้องการ $> \dfrac{4^{k+1}}{2\sqrt{k+1} } $ ดังนั้น $P(k+1)$ เป็นจริง จากการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์เราจะได้ว่า $P(n)$ เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนนับ $n$ ที่มากกว่าหรือเท่ากับ $2$ |
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 11:49 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha