ช่วยหน่อยครับ ข้อสอบสอวน.มข คัดเข้าค่าย3
 

จงแสดงว่าไม่มี$n\in \mathbf{N} $ที่$n\geqslant 2$ ที่ทำให้
$n\mid 3^n-2^n$

Binomial expandsion ครับ เคยมีสรุปแยกกรณีนะ

ข้อนี้เคยทำเมื่อนานมากๆแล้ว ยากอยู่นะไม่คิดว่า อ.จะออกคัดค่าย 3
มีเรื่องที่ควรรู้ไว้คือ เรื่อง order ที่น่าจะสอนตามค่าย 3 ลองหาอ่านตาม Text ดูก็ได้ครับ
เดี๋ยวพิมพ์นิยาม order สั้นๆให้นะครับ
Let n be the positive integer such that n>1 and integer a such that (a,n)=1
the smallest positive integer d that $n|a^d-1$ is called the order of a modulo n
หรือเขียนแทนด้วย $o_n(a)$ สมบัติที่สำคัญของ order ที่ควรรู้คือ
1. if $a^m\equiv1(mod n)$,then $o_n(a)|m$
2. $o_n(a)|\phi(n)$ ซึ่งพิสูจน์ได้ไม่ยากครับ
กลับมาที่ข้อนี้
Let p be the smallest prime such that $p|n$
Consider number a such that $2a\equiv 1 (mod p)$
From $3^n\equiv2^n(modp)$ $(3a)^n\equiv1(mod p)$
Let d=$o_p(3a)$ so $d|p-1$ and $d|n$
เนื่องจาก $d<p$ และ p เป็นจำนวนเฉพาะที่เล็กที่สุดซึ่ง $p|n$ ทำให้ได้ว่า $d=1$
จากสมบัติของ order ทำให้ได้ว่า $3a\equiv1(modp)$ และจาก $2a\equiv 1 (mod p)$
ทำให้ได้ว่า $p|a$ ซึ่งขัดแย้งกับ $2a\equiv 1 (mod p)$
ปล.เดี๋ยวนี้ค่าย 2 ได้สอนเรื่อง order รึเปล่าครับอยากรู้

ชื่อคุ้นๆนะครับ

เคยออกเป็นข้อสอบค่ายอยู่นะครับ ลองไปเปิดหาข้อสอบค่ายปีเก่าๆในนี้ดู

วิธีทำเหมือนข้างบนแหละครับ แต่เอามาเขียนอีกแบบ

Lemma ที่ useful ตัวนึง

ถ้า $p|x^k-y^k$ และ $p|x^l-y^l$ โดยที่ $\gcd(x,y) = 1$ แล้ว $p|x^{\gcd(k,l)}-y^{\gcd(k,l)}$

ต่อมาครับ สมมติว่ามี $n$ ซึ่ง $n | 3^n-2^n$

1) สมมติ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุดที่ $p|n$ (Keyword คือบรรทัดนี้ครับ)

2) จะได้ $p | 3^n-2^n$ และ $p| 3^{p-1} - 2^{p-1}$ ดังนั้น $p| 3^{\gcd(p-1,n)} - 2^{\gcd(p-1,n)}$

3) แต่ $\gcd (p-1,n)$ เป็นจำนวนที่หาร $n$ ลงตัวและน้อยกว่า $p$ ด้วย ดังนั้นมีสองกรณี

ถ้า $\gcd(p-1,n) \neq 1$ แสดงว่ามีจำนวนเฉพาะอื่นที่น้อยกว่า $p$ และหาร $n$ ลงตัว
ถ้า $\gcd(p-1,n) = 1$ แปลว่า $p | 1$ เลยขัดแย้งครับ

ใช้ของแฟร์มาต์ได้เหมือนกันนะครับ โดยกำหนด p>3 และเป็นตปก.เฉพาะที่น้อยที่สุดของ n หลังจากนั้นใช้คอนกรูเอนซ์ก็จะออกมาตามโจทย์เลยครับ