โจทย์เรขาที่คิดไม่ออก#๒
 

จากรูป สามเหลี่ม $ABC$ ที่มีจุด $P,Q$ อยู่บนด้าน $AB$ และ จุด $P ,Q$ แบ่งด้าน $AB$ ออกเป็นสามส่วนเท่าๆกัน

เช่นเดียวกันกับด้าน $BC$ และ $CA$ ที่มีจุด $R,S$ และ $T,U$ แบ่ง ด้าน $BC,CA$ ออกเป็นสามส่วนเท่าๆกัน ตามลำดับ

จงหาพท.แรเงา :please: ขอวิธีทำด้วยครับ :confused:

แก้ไขโดย : nooonuii

รูปสวยดีครับ ผมเพิ่งแนบไฟล์เป็นครั้งแรก
ขออภัยที่โจทย์ยาวไปหน่อย

เห็นได้โดยง่ายว่า $[\triangle ARS]=\frac13[\triangle ABC]$
และสามเหลี่ยมเล็กสุดและสี่เหลี่ยมคางหมูใหญ่สุดในสามเหลี่ยม ARS มีพื้นที่เป็น 1/(1+3+5) เท่า และ 5/(1+3+5) เท่าของพื้นที่สามเหลี่ยม ARS
ดังนั้นพื้นที่แรเงาจึงเป็น $\frac13\cdot\frac39=\frac19[\triangle ABC]$

มาเสริมคุณnongtum

Attachment 4576

ใช้เรื่องสามเหลี่ยมคล้ายได้หรือเปล่าครับ?
ถ้าได้เราจะรู้ได้อย่างไรว่า $PU//QT//BC$

ตามนี้ครับ
Attachment 4580

Attachment 4579


แถมให้อีกอัน เผื่อยังสงสัย
Attachment 4581

อ๋อ ขอบคุณครับ
ถามอีกอย่างครับ เราสามารถพิสูจน์ได้หรือไม่ครับ ว่า $ARและAS ซึ่งแบ่ง BC เป็นสามส่วน จะแบ่ง PU และ QT $เป็นสามส่วนด้วย

#7
ทำได้ครับ ใช้แค่ที่คุณ banker ยกมาให้ก็พอแล้วครับ

ให้ D,E,F,G แทนจุดตัดกันใน สามเหลี่ยม ABC จากรูป $$\frac{[ARS]}{[ABC]} = \frac{1}{3}$$
$$\frac{[ADE]}{[ARS]} = \frac{1}{9} , \frac{[AFG]}{[ARS]} = \frac{4}{9}$$
$$\therefore \frac{[DEFG]}{[ARS]}= \frac{1}{3}, \frac{[DEFG]}{[ABC]} = \frac{1}{9} $$

ยากจังครับ

อ๋อ พอได้ทั้งสามเส้นที่ว่าขนานกันแล้ว มันก็ได้แล้วสิน่ะครับ คล้ายๆบทกลับรึเปล่าหว่า:confused::)