Algebra Marathon
เห็นกระทู้มาราธอนและมินิมาราธอนทั้งหลายขายดีครับ คนชอบพีชคณิตอย่างผมเลยอดไม่ได้ที่จะตั้งกระทู้นี้บ้าง :D กติกายังเหมือนเดิมครับ ขอเริ่มจากง่ายๆก่อนละกัน เรียกขวัญกันหน่อย :)
1. ให้ \( \Large{ f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 } \) นิยามโดย \[ \Large{ f(x,y) = ( (x+y)^3,x-y ) } \] (a) จงพิสูจน์ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (b) จงหา f-1 หมายเหตุ 1. \( \Large{\mathbb{R}^2 } = \{(x,y) | \text{ x,y เป็นจำนวนจริง} \} \) 2. f เป็นฟังก์ชันทั่วถึงด้วย แต่การพิสูจน์รวมอยู่ในข้อ (b) แล้ว :) |
ข้อa ครับ ไม่แน่ใจว่าจะได้รึเปล่า
f(x1,y1) = f(x2,y2) (x1+y1)3 = (x2+y2)3 ู x1-y1 = x2-y2 x1+y1 = x2+y2 ู x1-y1 = x2-y2 x1-x2 = y2-y1 ู x1-x2 = y1-y2 y1-y2 = y2-y1 y1 = y2 \ x1=x2 ดังนั้น f(x,y) เป็นฟังก์ชัน 1-1 |
ส่วนข้อ b นั้นจะเห็นได้ว่า ((x+y)3)1/3+x-y=2x
และ ((x+y)3)1/3-(x-y)=2y \ f-1(x,y)=((x1/3+y)/2,(x1/3-y)/2) |
ถ้าโจทย์ถูกข้อนี้เป็นข้อสอบ สสวท.รอบ2 ปี48 ครับ
asin2x+bcos2x = 1 acos2y+bsin2y = 1 และ acot x = bcot y a น b จงหาค่าของ a+b โดยที่ไม่ติดค่า x และ y |
0 ถือว่าเป็นคำตอบรึเปล่าเอ่ย...? (ท่าทางจะมีคำตอบอื่น)
|
ผมคิดได้ a + b = 1 แต่ยังกำจัดอีกกรณีทิ้งไม่ได้เลยยังไม่กล้าตอบครับ
แต่ดูๆไปแล้วถ้าที่ผมคิดมาถูก a + b น 0 ครับ :) |
อุ่ย จริงด้วย ย้ายข้างผิดอีกและ :p ผิดไปคนละเรื่องเลย
|
เดี๋ยวสัก 5 ทุ่มผมลองคิดบ้างดีกว่า ตอนนี้ขอทำงานหลวงก่อน :D
|
อ่าคิดไม่ออกอ่ะครับ คงต้องให้เซียนตรีโกณอย่างพี่กรมาเฉลยแล้วล่ะครับ
ผมขอเอาโจทย์ที่เพิ่งคิดได้มาลงไว้ก่อนละกันครับ ไปละช่วงนี้ยุ่งมากมาย :D 3. (nooonuii) ให้ f : Q --> Z เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง จงพิสูจน์ว่า f ไม่เป็น strictly monotone function P.S. 1. Q = เซตของจำนวนตรรกยะ, Z = เซตของจำนวนเต็ม 2. strictly monotone function คือฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติว่า x < y --> f(x) < f(y) ทุกค่า x,y หรือ x < y --> f(x) > f(y) ทุกค่า x,y |
พิสูจน์โดยใช้ contradiction นะครับ
สมมติให้ \(f:\mathbb Q\to\mathbb Z\) เป็น strictly monotone bijection ให้ \(g:\mathbb Z\to\mathbb Q\) เป็น inverse ของ f ดังนั้น g จึงเป็น strictly monotone function ด้วย นั่นคือ g เป็นฟังก์ชันที่เรียงลำดับค่าของจำนวนตรรกยะทั้งหมดได้ แต่เรารู้ว่าไม่มีฟังก์ชันเช่นนั้นอยู่จริง จึงเกิดข้อขัดแย้งขึ้น ขยายความ: ถ้า \(g:\mathbb Z\to\mathbb Q\) เป็น strictly monotone bijection ให้ \(g(1)=a\) และ \(g(2)=b\) เรารู้ว่า \((a+b)/2\in\mathbb Q\) มีค่าอยู่ระหว่าง a กับ b แต่เราไม่มี \(x\in\mathbb Z\) ที่มีค่าอยู่ระหว่าง 1 กับ 2 ที่จะทำให้ \(g(x)=(a+b)/2\) ได้ ดังนั้นจึงไม่มีฟังก์ชันเช่นนั้นอยู่จริง ไม่รู้ผมอธิบายวกวนเกินความจำเป็นไปหรือเปล่า :p |
คุณ warut หายไปนานเลยนะครับ กลับมาก็ยังคมเหมือนเดิมครับ :D
หลายวันก่อนไปอ่านวารสารเกี่ยวกับพวก recreational mathematics พบชื่อคุณ warut เป็น problem solver ของวารสารนี้ด้วยครับ แต่ไม่รู้ว่าจะใช่คนเดียวกันรึปล่าว :confused: :D |
แหะๆ...เป็นเรื่องเกี่ยวกับอะไรเหรอครับ อาจใช่ก็ได้นะเพราะแต่ก่อนผมทำเรื่องบ้าๆไว้เยอะมาก (เดี๋ยวนี้ก็ยังทำอยู่ แต่กำลังพยายามจะเลิกแล้วครับ) เลยไม่ค่อยอยากพูดถึงน่ะครับ :p
อ้างอิง:
ถ้า \(x\ne n\pi/4,\,n\in\mathbb Z\) และ \(y=\pi/2-x\) จะทำให้สมการ 1 และ 2 กลายเป็นสมการเดียวกัน และจากสมการ 3 เราจะได้ว่า \(\alpha=\beta\tan^2x\ne\beta\) แทนค่า a ในสมการ 1 แล้วแก้สมการจะได้\[\alpha= \frac{\sin^2x}{\sin^4x+\cos^4x}\]\[\beta= \frac{\cos^2x}{\sin^4x+\cos^4x}\]\[\alpha+\beta= \frac{1}{\sin^4x+\cos^4x}=\frac{4}{3+\cos4x}\]สรุปว่าในกรณีนี้ \(1<\alpha+\beta<2\) ผิดถูกยังไงช่วยท้วงติงด้วยนะครับ |
ผมไปคิดใหม่ได้เหมือนของคุณ warut เลยครับ แต่ไม่รู้จะตอบอะไร
|
อืม...ถ้างั้นโจทย์อาจจะมีข้อผิดพลาดจริงๆซะแล้วล่ะครับ
|
อ๊ะใช่คุณ warut จริงๆด้วย :D ว่าแต่ทำไมจะเลิกซะล่ะครับ ดีออก ผมว่าจะทำเหมือนกันแต่ไม่มีเวลาละ ขอเอาตัวเองให้รอดก่อนเหอเหอ :)
อ้อคุณ Warut ได้สิทธิ์ถามข้อต่อไปนะครับ |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 09:24 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha