โจทย์คัดตัวแทน สอวน. หาดใหญ่
1.มีครอบครัวอยู่ n ครอบครัว ครอบครัวละ 3 คน (พ่อ แม่ ลูก) จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดในการจัดคน 3n คนเรียงเป็นแถวตรง โดยที่ลูกอยู่ติดกับแม่และพ่อไม่อยูติดกับแม่
2.ถ้า หรม.ของ n และ2010เท่ากับ1 จงแสดงว่ามีจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้111...111(k ตัว)หารด้วย n ลงตัว |
อ้างอิง:
|
[quote=MonodiTri;83265]1.มีครอบครัวอยู่ n ครอบครัว ครอบครัวละ 3 คน (พ่อ แม่ ลูก) จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดในการจัดคน 3n คนเรียงเป็นแถวตรง โดยที่ลูกอยู่ติดกับแม่และพ่อไม่อยูติดกับแม่
2.ถ้า หรม.ของ n และ2010เท่ากับ1 จงแสดงว่ามีจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้111...111(k ตัว)หารด้วย n ลงตัว[/QUOTE] คล้ายกับโจทย์ท.บ.จำนวนในศูนย์ผมเลยอ่ะครับ ลองเขียน $1111111111111111.....11$ ให้อยู่ในรูป $(10^{n}-1))/9$ ดูอ่ะครับ |
เอาไปอีกข้อเหอๆๆ
Number Theory 5 คะแนน จงหาเศษจากการหาร $(52!)^{20\cdot 10}+(20\cdot 10)^{52!}$ ด้วย $25\cdot 53$ ตอบ $850$ Trigonometric กำหนดสามเหลี่ยม $ABC$ โดยมีความสัมพันธ์ $$\dfrac{\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C}{\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C}=2$$ จงแสดงว่าสามเหลี่ยม $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก |
เอ่อ อยากทราบว่า ข้อ 2 ตอบ ฟี n หรือ ฟี9n อ่าครับ
|
อ้างอิง:
$(n,2010)=1\Rightarrow (n,10)=1,(n,9)=1$ Euler's Theorem : $10^{\phi(n)}\equiv 1 \pmod{n}$ $10^{m\phi(n)}\equiv 1 \pmod{n}$ $9\Big(\dfrac{10^{m\phi(n)}-1}{9}\Big)\equiv 0\pmod{n}$ $\dfrac{10^{m\phi(n)}-1}{9}\equiv 0\pmod{n}$ Note : $\phi(9n)=\phi(9)\phi(n)=6\phi(n)$ |
อ้างอิง:
ให้ $a,b,c$ เป็นด้านตรงข้ามมุม $A,B,C$ ตามลำดับ จากเงื่อนไขโจทย์จะได้ว่า $\cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}=1$ จากนั้นใช้กฎของโคไซน์จะได้ $\dfrac{(a^2+b^2-c^2)^2}{4a^2b^2}+\dfrac{(b^2+c^2-a^2)^2}{4b^2c^2}+\dfrac{(c^2+a^2-b^2)^2}{4c^2a^2}=1$ ให้ $x=a^2+b^2-c^2,y=b^2+c^2-a^2,z=c^2+a^2-b^2$ สมการข้างบนจะกลายเป็น $\dfrac{x^2}{(x+y)(x+z)}+\dfrac{y^2}{(y+x)(y+z)}+\dfrac{z^2}{(z+x)(z+y)}=1$ $x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)=(x+y)(y+z)(z+x)$ $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)+2xyz$ ดังนั้น $xyz=0$ นั่นคือ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก |
Inequality 10 points
1.(i) Prove that $\frac{1}{x+y}\leqslant \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})$ ; $x,y>0$ (ii) Let $a,b,c>0$ Prove that $$\dfrac{ab}{a+b+2c}+\dfrac{bc}{b+c+2a}+\dfrac{ca}{c+a+2b}\leqslant \dfrac{1}{4}(a+b+c)$$ 2.Let $a+b+c+d=2$ Prove that $$\sqrt{a(b+c)}+\sqrt{b(c+d)}+\sqrt{c(d+a)}+\sqrt{d(b+c)}\leqslant 3$$ Number Theory 5 points จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุด ซึ่งมี $2010$ เป็นตัวประกอบและ $\tau (n)=160$ (ตอบในรูปของผลคูณของจำนวนเฉพาะ) |
ข้อแรกนี่ผมกระจายเอาเลยแหะ =="
บอกตามตรงนะครับ หลังจากอ่าบทความของพี่ nooonuii ผมก็รู้สึกว่าอสมการอันไหน พอจะกระจายได้ก็กระจายไปอ่ะครับ ในบางครั้งผมว่าชัวกว่ามานั่งบาวแล้วเกินอีก ==" |
อ้างอิง:
ถ้าใช่อสมการที่แท้จริงคือ $$\sqrt{a(b+c)}+\sqrt{b(c+d)}+\sqrt{c(d+a)}+\sqrt{d(b+a)}\leqslant 2\sqrt{2}$$ |
อ้างอิง:
แต่ข้อนี้ใช้ Hint จากข้อแรกก็ออกแล้วครับ $\dfrac{ab}{a+b+2c}\leq \dfrac{1}{4}ab\Big(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}\Big)$ |
อ้างอิง:
$\dfrac{a+(b+c)}{2}\geqslant \sqrt{a(b+c)}$ ในทำนองเดียวกัน $\dfrac{b+(c+d)}{2}\geqslant \sqrt{b(c+d)}$ $\dfrac{c+(d+a)}{2}\geqslant \sqrt{c(d+a)}$ $\dfrac{d+(b+a)}{2}\geqslant \sqrt{d(b+a)}$ บวกกับทั้งหมดจะได้ $$\sqrt{a(b+c)}+\sqrt{b(c+d)}+\sqrt{c(d+a)}+\sqrt{d(b+a)}\leqslant 3$$ |
อ้างอิง:
โดย AM.-GM. จะได้ $\dfrac{2a+(b+c)}{2}\geqslant \sqrt{2a(b+c)}$ ในทำนองเดียวกัน $\dfrac{2b+(c+d)}{2}\geqslant \sqrt{2b(c+d)}$ $\dfrac{2c+(d+a)}{2}\geqslant \sqrt{2c(d+a)}$ $\dfrac{2d+(b+a)}{2}\geqslant \sqrt{2d(b+a)}$ บวกกันทั้งหมดจะได้ $$\sqrt{a(b+c)}+\sqrt{b(c+d)}+\sqrt{c(d+a)}+\sqrt{d(b+a)}\leq 2\sqrt{2}$$ |
อ่า ครับ เหอๆๆ ข้อนี้ผมใช้ โคชี ได้ น้อยกว่าหรือเท่้ากับ $2\sqrt{2}$ เหมือนกัน
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 17:45 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha