ช่วยเฉลยข้อสอบคณิตศาสตร์เพชรยอดมงกุฎ ครั่งที่ 2 (2547) ม.ต้น
 

ข้อสอบคณิตศาสตร์เพชรยอดมงกุฎ ครั่งที่ 2 (2547) ม.ต้น
https://drive.google.com/file/d/0B-P...ew?usp=sharing
ยังไงก็รบกวนเฉลยให้ด้วยนะคะ

ข้อ 17 ครับ 50%

ขอวิธีคิดหน่อยนะคะ

25. กำหนด $x^2+y^2+z^2+2,004w^2 = 4w(x+y+z)$ แล้วค่าของ $(x+2)(y+3)(z+4)(w+5)$ เป็นเท่าไร

จัดให้อยู่ในรูป $a^2+b^2+c^2+d^2=0$

อยากทราบเฉลยค่ะ

ข้อ 30. ชายคนหนึ่งเดินทางไปยังที่ แหงหนึ่ง ถาเขาเดินเร็วขึ้นชั่วโมงละ 1 กิโลเมตร จะถึงปลายทางเร็วขึ้นกวาปกติ 90 นาที แตถาเขาลดความเร็วลงชั่วโมงละ 1/2 กิโลเมตร จะถึงปลายทางชากวาปกติ 60 นาที ถาเขาเดินดวยความเร็วปกติในระยะทางเดินจะใชเวลากี่ชั่วโมง

รบกวนด้วยนะคะ ขอบคุณล่วงหน้าค่ะ

Attachment 17564
ข้อ 39
ลาก AC จะได้ มุม ACD=CAD=40
จาก FAD=ACD
y=40
ACB=AOB/2=108/2=54
CAE=180-y-DAC=180-40-40=100
x=180-CAE-ACB=180-54-100=26
x+y=40+26=66

ข้อ 47
ลาก ED
สมมติพื้นที่ ABC = 25
จะได้พื้นที่ ACD = 20, BCE = 30, CDE = 24
ให้พื้นที่ DEF = x
ABE/AEF=BED/DEF
55/(44+x)=54/x
x=44*54
m=AF/AD=AFE/ADE=(44+44*54)/44=55
n=BF/BE=BFD/BED=(54+44*54)/54=45
$\sqrt{m+n}=\sqrt{100}=10 $

ผมทำตามวิธีที่คุณ polsk133 ครับ ผิดถูกบอกด้วยครับ

$1992w^2+(4w^2-4wx+x^2)+(4w^2-4wy+y^2)+(4w^2-4wz+z^2)=0$
$1992w^2+(2w-x)^2+(2w-y)^2+(2w-z)^2=0$
จะได้ w=0,2w-x=0,2w-y=0,2w-z=0
ดังนั้น w=x=y=z=0
(x+2)(y+3)(z+4)(w+5)=2*3*4*5=120

ข้อ 37
Attachment 17570

ให้ $O$ เป็นจุดศูนย์กลางวงกลม

ลาก $BD$ จะได้ค่ามุมดังรูป

จาก $\Delta BRO$ จะได้ $BC=2BR=12$ และ $OR=2\sqrt{3}$

จาก $\Delta BCD$ จะได้ $CD=2OR=4\sqrt{3}$

$\Delta ABC$ เป็นด้านเท่า ดังนั้น $AR=\frac{\sqrt{3}}{2}\times12=6\sqrt{3}$ และ $AS=6\sqrt{3}-4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$

$\Delta APQ ~ \Delta ABC$ จะได้ว่า $\frac{AS}{AR}=\frac{1}{3}$

ดังนั้น $[APQ]=\frac{1}{9}\times [ABC]=\frac{1}{9}\times\frac{\sqrt{3}}{4}\times144=4\sqrt{3}$ #

(เพราะด้านของ APQ เป็น1/3ของ ABC ทุกคู่ด้านที่สมนัยกัน พื้นที่ที่เกิดจากด้านฐานxด้านสูงคูณกันจึงเป็น 1/9)

ข้อ 38
Attachment 17572

ลาก $QE\bot AB$

โดยพีทากอรัส ได้ $AR=AP=2\sqrt{5}$

ดังนั้น $sin\theta =\frac{1}{\sqrt{5}}$ และ $cos\theta=\frac{2}{\sqrt{5}}$

พิจารณา $\Delta AEQ$ จะได้ $cos2\theta=cos^2\theta-sin^2\theta=\frac{3}{5}$

เนื่องจาก $QE=4$ ดังนั้น $AQ=5$ --> $AE=3$

ดังนั้น $QC=EB=1$ จะได้ $RQ=1$

$\therefore [ARQ]=\frac{1}{2}\times1\times4=2$ #