เตรียมสอบ มหิดล
 

1) $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยม มี $\widehat{B}$ เป็นมุมฉาก ลาก $\overline{BD} $ ตั้งฉากกับ $ \overline{AC} $ ที่จุด $D$ ทำให้ $AD : AC = 3 : 7$

ถ้าอัตราส่วน $\dfrac{BC}{AB}: BD = 1 : a$ แล้ว $a^2$ มีค่าเท่าใด

ให้ AB = x

ให้ BD = a n

ได้ $\frac{BC}{AB} = n -----> BC = n (AB) = n x$

AC = $\sqrt{x^2 + n^2x^2}$

$(a n)^2 = x^2 -(\frac{3}{7} \sqrt{x^2 + n^2x^2})^2$ -------- (1)

$(a n)^2 = n^2 x^2 -(\frac{4}{7} \sqrt{x^2 + n^2x^2})^2$ -------- (2)

(1) = (2) ได้ $n^2 = \frac{4}{3}$

แทนค่าใน (1)

$a^2 = \frac{3x^2}{7}$

ได้ $AC^2 = \frac{7x^2}{3}$

ได้ $BD^2 = \frac{4x^2}{7}$

ได้ $BC^2 = \frac{4x^2}{3}$

ได้ $AB^2 = x^2$

อัตราส่วนในคำถาม ด้านซ้ายไม่มีหน่วยแต่ด้านขวามีหน่วย แค่นี้ก็รู้แล้วว่าพิมพ์ผิด = =

2) กำหนดให้ a เป็นจำนวนนับที่มีค่าไม่เกิน 2000 ถ้า a สอดคล้องกับสมบัติทุกข้อต่อไปนี้

ก. เมื่อ $\dfrac{a}{21}$ เป็นจำนวนเศษส่วนแท้ แล้วตัวส่วนจะต้องมีค่าเท่ากับ 3 เสมอ

ข. $14a=b^2$ เมื่อ b เป็นจำนวนนับ

แล้วผลบวกของ a ที่เป็นไปได้ทั้งหมดมีค่าเท่ากับเท่าใด

$1.\,896\quad2.\,1190\quad3.\,1778\quad4.\,1792 $

คุณ Amankris ตอบไว้แล้วครับ http://www.mathcenter.net/forum/show...=12744&page=10

ป.ล. ข้อ ก. ถ้าดูตามนิยามของเศษส่วนแท้ http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%...B8%A7%E0%B8%99

ผมว่าที่ถูกควรเป็นแบบนี้ครับ " เมื่อ $\dfrac{21}{a}$ เป็นจำนวนเศษส่วนแท้ แล้วตัวเศษจะต้องมีค่าเท่ากับ 3 เสมอ"

คือถ้าอัตราส่วนเป็นแบบนี้จริง ค่า a มันต้องมีไม่จำกัดอยู่แล้วครับ

ลบดีกว่า อันตราย

ตอบ 9 ปะครับ

:"P

ส่งมาทาง PM หรือ eyeshield21_Surf@windowslive.com ก็ได้ครับ ^^

#7
ผมเป็นคนหนึ่งที่เคยเห็นต้นฉบับ(หรือป่าว)ของปีก่อนๆ
จำได้ว่าแบบนั้นนะครับ

รู้สึกตอนนั้นจะได้ $a=3$ มั้งครับ

3) กำหนดพหุนาม $x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4$ สอดคล้องกับสมบัติทุกข้อต่อไปนี้

ก.$\quad a_1,a_2,a_3,a_4$ เป็นจำนวนเต็ม

ข.$\quad\sqrt{2} +\sqrt{3}$ เป็นคำตอบของสมการ $x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4=0$

จงหาค่าของ $a_1-a_2+a_3-2a_4$

ข้อนี้ได้ 8 ปะครับ :laugh:

4) รูปแปดเหลี่ยมที่มีด้านยาว 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2 หน่วย ตามลำดับ แนบอยู่ในวงกลม ดังรูป

$\quad$ถ้า $R$ เป็นรัศมีของวงกลมวงนี้ และ $R^2=\dfrac{a+b\sqrt{2} }{2} $ แล้ว $2(a+b) $ มีค่าเท่าใด
Attachment 5287

รบกวนส่งให้ผมด้วยได้มั้ยครับ
p.onoffon@gmail.com
ขอบคุณครับ

คนที่ไปสอบ จำมาได้ไม่กี่ข้อหรอกครับ แต่อยากให้ช่วยกันเฉลยวิธีทำด้วยครับ

แทน $x$ ด้วย $\sqrt{2} +\sqrt{3}$ แล้วกระจาย (เหมือนถึก แต่ก็ไม่เท่าไหร่หรอกครับ)
แล้วเทียบจากตัวที่ติดรูทรวมกันได้ 0 ได้เลยเพราะ $a_1,a_2,a_3,a_4$ เป็นจำนวนเต็ม