Four-Variable inequalities
 

ขอเเค่ Hint ครับ :please: เเละช่วยเเนะนำด้วยครับว่า การทำเเบบ 4 ตัวเเปรมีเคล็ดลับอย่างไร :laugh:

1) Show that for all positive reals $a,b,c,d$ with $abcd=1$, and $k\geq 2$,

$$\frac{1}{(1+a)^k}+\frac{1}{(1+b)^k}+\frac{1}{(1+c)^k}+\frac{1}{(1+d)^k}\geq2^{2-k}$$

2)Let $a,b,c,d$ be positive real number such that $a^2+b^2+c^2+d^2=1$. Prove that

$$(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)\geq abcd$$

3)Let $a,b,c,d$ be positive real number such that $a^2 +b^2 +c^2 +d^2=1$
and $a\geq b \geq c \geq d$. Prove that:

$$\frac{a+c}{b+d} \leq \frac{7+2\sqrt{6}}{5}$$

Credit: หนังสือ Mildorf เเล้วก็ไฟล์ 4varriable_nguyenduytung.pdf จาก Mathlink

เอาข้อที่ผมเคยทำก่อนนะครับ...
ข้อแรก...เป็นไปได้ไหมว่าจะ power mean?
ลองคิดที่กรณี $k=2$ ก่อนว่าจะเป็นอย่างไร คลับคล้ายคลับคลาว่ามันเหมือนกับอะไรหรือไม่ครับ? น่าจะเคยทำมาแล้ว...
คุณ Keelvzer น่าจะเคยทำ 161 inequality problems ชุดที่ Hojoo Lee รวบรวมมาแล้ว...ข้อนี้มีในนั้นด้วยนะครับ กรณี $k=2$ นะ...
ส่วนข้อสอง...ใช้ข้อแรกกรณี $k=2$ มาต่อยอดครับ...อยากให้ลองคิดเองดูว่า ต่อยอดมาอย่างไร? ลองเปลี่ยนตัวแปรนิดหน่อย...

ผมขอขอบคุณคุณ RJK มากครับ จริงๆ ผม สอวน.ค่าย 1 ครับ :D เเล้วตอนนี้ม.5 เเล้วด้วย

ผมขอถามนอกเรื่องหน่อยนะครับ ข้อสอบ กสพท.คณิตนี่ควรฝึกโจทย์ถึงระดับไหนครับ ผมเก็งๆเอาไว้ว่าไม่น่าจะเกินสมาคมฯ หรือสอวน.สอบเข้าค่าย 1 คุณ RJK พอจะเเนะนำให้ผมได้ไหมครับ วิชาอื่นๆด้วยก็ดี เพราะผมก็อยากได้เเพทย์(ศิริราช)เหมือนกันครับ อีกคำถามหนึ่งคือ ทำไมถึงเลือกเเพทย์จุฬาละครับ ทำไมถึงไม่เลือกเเพทย์ศิริราชเเบบคุณพงศ์ภัค ภูมิวัฒน์ครับ :confused:

วิชาเลข คิดว่าก็พอๆกับ A-net นั้นแหละครับ...ประมาณโจทย์ปรนัยของข้อสอบสสวท รอบแรก สมัยที่ยังมีอยู่ประมาณนั้นเลยหล่ะครับ
อังกฤษ เตรียมศัพท์ไว้หน่อยก็ดีนะครับ...
วิทยาศาสตร์ ไม่ได้ต่างอะไรกับข้อสอบปกติเลยอะครับ
ไทย-สังคม สองอันนี้ผมอ่านผ่านๆไปสอบ คงตอบให้ไม่ได้แหละครับ...
ที่เลือกแพทย์จุฬาเพราะตอนแรกอยากเรียนกับพงศ์ภัค แล้วพงศ์ภัคมันเคยเขียนไว้ในคาบแนะแนวตอน ม.4 ว่ามันอยากเข้าแพทย์จุฬา ประกอบกับส่วนตัวผมก็เคยชินกับสถานที่แถวๆนี้มากกว่า ก็เลยเลือกจุฬาเป็นอันดับหนึ่งไปครับ...แล้วพงศ์ภัคมันดันได้โควตาศิริราชไปก่อน...แล้วมันก็เอาเสียด้วย ก็เลยกลายเป็นว่าไม่ได้เรียนกับมัน

คุณ RJK ขออีกสักคำถาม ทำอย่างไรถึงจะเก่งคอมบิกับอสมการละครับ

เช่นเวลาเจอโจทย์อสมการบางข้อ ผมมักจะ Bound ตกขอบ Bound ไม่ Sharp บ้าง พอจะเเนะนำได้บ้างไหมครับเวลา Bound อสมการ เเล้วก็สำหรับสอบค่าย 1 เเละค่ายต่อๆไปในอนาคตถ้าผมมีโอกาสเเนะนำหน่อยครับว่าควรเตรียมตัวอย่างไร เวลาเรียนมีเทคนิกอะไรบ้าง (มีเทคนิกอื่นๆนอกจาก "ทำโจทย์เยอะๆ", "ทำไปจนกว่าจะออก" บ้างไหมครับ) ส่วนคอมบิยังเป็นวิชาที่ไม่ถนัดจนถึงตอนนี้ :)

ขอบคุณล่วงหน้าครับคุณ RJK

ไฟล์ที่ว่านี่ ขอลิงก์หน่อยได้มั้ยครับ

Link ของคนที่เอาไฟล์นี้มาปล่อย ผมเองก็ทำหายไปเเล้วเพราะมันอยู่ในกระทู้เก่าๆ ที่ Mathlink ครับ :)

ผมเลย Upload ขึ้นไว้ให้ที่ link นี้นะครับ http://www.4shared.com/document/g7Pt...enduytung.html

ได้ไม่ได้ยังไงก็บอกด้วยครับ จะได้มีคนช่วยผมคิดอสมการเพิ่มละ :great:

ขอบคุณครับ ได้มาแต่ทำไม่ได้ =="

แต่จะพยายามนะครับ

ถ้ามีอีกช่วยมาโพสต์ด้วยนะครับ

ผมคิดว่าข้อสามมันแปลกๆนะครับ ให้ b=c=d มีค่าน้อยมากๆๆ มันก็ไม่จริงแล้วนิครับ?

ไม่จริงอย่างว่าครับ ผมดูเเบบหยาบๆไม่ทันได้สังเกต ขออภัยด้วยครับ :please:

ข้อ 2
ลองเปลี่ยนตัวแปรให้ x=a-1/a ดูครับ