โจทย์ สมาคมคณิตศาสตร์ ปี 42 ไม่เข้าใจ
เป็นโจทย์สามาคมคณิตศาสตร์ปี 42
ถ้า $ x^{ 2 }-x+1=0 $ แล้ว $x^{9 } +x^{ -9 }+x^{6 } +x^{ -6 }+x^{3 }+x^{ -3 }+1$ มีค่าเท่าใด ก. -3/2 ข. -1 ค. 1 ง. 7 ข้อนี้เฉลยข้อ ข. วิธีคิด $x^{ 2}-x+1=0 $ $(x+1) (x^{ 2 }-x+1)=0 $ $x^{3 } +1=0 $ แล้วแทนค่า x ออกมาได้ = -1 แต่ผมสงสัยว่า (x + 1 ) มาจากไหนครับไม่เข้าใจช่วยอธบายด้วยครับ |
มันเป็นตัวที่คูณเข้าไปเพื่อจัดรูปครับ เพราะเทอมที่โจทย์ให้เป็นตัวประกอบของ $x^3+1$ พอดี
|
การนำ x+1 คูณเข้าไปต้องมีเงื่อนไขว่า x+1 ไม่เท่ากับศุนย์ไม่ใช่รึครับ ดังนั้น x จึงไม่เท่ากับ -1 ไม่ใช่รึครับ
สงสัยครับ :confused: |
เอาเฉลยมาจากไหนครับ... คือมันเฉลยวิธีผิดครับ
เดี๋ยวว่างๆจะมาแสดงให้ดู Edit: เฉลยไม่ผิดหรอกครับผมเข้าใจผิดเอง :D |
พี่ nongtum ตอบตามที่เห็นรึเปล่าครับ ไม่ได้คิดว่าถูกรึเปล่า :)
ส่วนวิธีเฉลยรอน้อง mastermander โชว์ฝีมือเลยครับ |
จริงอยู่ถึงแม้ว่าวิธีการที่เฉลยมานั้นบกพร่อง เพราะว่าสมการ $x^3 + 1 = 0$ มี -1 เป็นราก
แต่ สมการ $x^2 - x + 1 = 0$ ไม่มี -1 เป็นราก สมการจึงไม่สมมูลกัน :rolleyes: แต่อย่างไรก็ตามเราก็ยังคงสามารถแสดงได้ว่า $x^3 = -1$ โดยใช้ความรู้ระดับมัธยมต้น ดังนี้ จากสมการ $x^2 - x + 1 = 0$ ชัดเจนว่า $x \ne 0$ ดังนั้น $x^2 = x - 1 \Rightarrow x^4 = (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1 = x - 1 - 2x + 1 = -x$ แต่ $x \ne 0$ จึงนำ $x$ หารตลอดได้เป็น $x^3 = -1$ :great: |
ผมเข้าใจว่าโจทย์ข้อนี้ที่เค้าเฉลยไม่ได้ต้องการบอกว่า $X^{3} = -1$ จึงทำให้ได้รากของ X = -1 และนำ X = -1 ไปแทนลงในสมการ แต่เค้าต้องการจัดรูปว่ารากของสมการ $x^{ 2}-x+1=0$ เมื่อรากของมันยกกำลังสามแล้วเท่ากับ -1 จึงนำค่า $X^{3} = -1 $ไปแทนลงในสมการ แล้วได้คำตอบ = -1
|
อ้างอิง:
My Solution $x^2-x+1=0\quad \because\ x\ne0\to\; x+\dfrac1x=1=2\cos60^\circ$ $x^9+x^{-9}+x^6+x^{-6}+x^3+x^{-3}+1=2\cos540^\circ + 2\cos360^\circ + 2\cos90^\circ+1=-1$ |
อ้างอิง:
ถ้า $x^2 - x + 1 = 0$ แล้ว $(x+1)(x^2 - x + 1)=0$ ไม่งั้นบางทีอาจจะตีความผิดไปว่า $x^2 - x + 1 = 0$ ก็ต่อเมื่อ $(x+1)(x^2 - x + 1)=0$ ซึ่งเป็นเท็จ |
อ้างอิง:
|
If $x+\dfrac1x=2\cos\theta$
Then $x^n+\dfrac1{x^n}=2\cos n\theta$ |
พอจะพิสูจน์ให้ดูได้ไหมครับ อยากรู้อะครับ :huh:
|
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 14:47 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha