แก้ไม่ออก
ให้ $a,b,c\in R^+$ โดยที่ $ab+bc+ca=3$ จงแสดงว่า
$$(a+b+c)^2\geqslant 3(abc)^2-6abc$$ |
น่าจะ้เป็น $(a+b+c)^2 \ge 3(abc)^2+6abc$ นะครับ
จาก $(ab+bc+ca)^2 \ge 3abc(a+b+c) จะได้ว่า \frac{ab+bc+ca}{a+b+c} \ge abc$ $\therefore \frac{3(ab+bc+ca)^2}{(a+b+c)^2} \ge 3(abc)^2$ ซึ่ง $ab+bc+ca \ge \frac{3(ab+bc+ca)^2}{(a+b+c)^2}$ จะต้องพิสูจน์ว่า $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca \ge 6abc$ ซึ่งจริงเพราะว่า $ab+bc+ca \ge 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} \rightarrow abc \le 1$ จะได้ว่า $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca \ge 2(ab+bc+ca = 6 \ge 6abc$ # |
$ab+bc+ca\geqslant 3(a^2b^2c^2)^{1/3}$ ใช่มั้ยครับ
ทิ้งคณิตนาน ฝึดเลย ปล.ขอบคุณครับ น้องdektep ติดสสวท.รอบไหนแล้วครับ |
AM-GM; $3=ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}$ $abc\leq 1$ AM-GM; $(a+b+c)^2\geq 9(abc)^{2/3}\geq 3(abc)^2+6abc$ อสมการสุดท้ายมาจาก $3(abc)^2\leq 3(abc)^{2/3}$ $6abc\leq 6(abc)^{2/3}$ |
ข้อนี้ผมลองทำแบบนี้ดูนะคับ ไม่รู้ถูกป่าว
AM-HM $\frac{a+b+c}{3} \geqslant \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} }$ $ = \frac{3abc}{ab+bc+ca} $ $ = abc (\because ab+bc+ca = 3)$ $\frac{a+b+c}{3} \geqslant abc $ $= 3abc$ $ (a+b+c)^2 \geqslant 9(abc)^2$ $ = 3(abc)^2+6(abc)^2$ ต้องพิสูจน์ว่า $6(abc)^2 \geqslant 6abc$ เนี่องจาก$ a,b,c\in \mathbf{R}+$ ดังนั้น $abc \geqslant 1$ $6(abc)^2 \geqslant 6abc$ ดังนั้น $(a+b+c)^2 \geqslant 3(abc)^2+6abc$ คับ :D |
อ้างอิง:
|
อ๋อเข้าใจแล้วคับ ขอบคุณคับที่ถูกมันต้องมากกว่า 0 ใช่ป่าวคับ:ohmy::D
|
อ่า... วิธีผมใช้ได้มั้ยครับ
เพราะว่า $ab+bc+ca=3$ $(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)=9,abc \leq 1$ $(a+b+c)^2\geq 3+6\geq 3(abc)^2+6abc$ |
$abc \leq 1$
ผมว่าตรงนี้ไม่จริงนะคับ :cool: |
อ้างอิง:
$\frac{ab+bc+ca}{3} \ge (abc)^\frac{2}{3}$ :great: |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 07:17 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha