Binary Operation
 

$Z=\left\{\,\right. A\in M_2\left(\mathbb{Z} \right)|A^2=\bmatrix{1 & 0 \\ 0 & 1}\left.\,\right\} $

ผมต้องการแสดงว่า $ \left\langle\,\right. Z,\bullet \left.\,\right\rangle $ มีสมบัติปิด
หรือ $\bullet $ เป็น binary operation บน $Z$

ต้องแสดงอย่างไรครับ

ปล. $M_2\left(\mathbb{Z} \right)$ คือเซตของเมตริกซ์ขนาด 2 คูณ 2 ที่สมาชิกเป็นจำนวนเต็ม

คำแนะนำ:
หาสมาชิกทั้งหมดของ $Z$ โดยสมมติให้ $B=\bmatrix{a & b \\ c & d}\in\ Z$ แล้วตรวจสอบความสัมพันธ์ของ $a,b,c,d$ จาก $B^2=I_2$
เมื่อได้สมาชิก $B$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ก็ทำการตรวจสอบเงื่อนไข โดยจับสมาชิกคูณกันก่อนยกกำลังสองเพื่อตรวจสอบเงื่อนไข
(ไม่ยาก แต่อาจเขียนแจงยาวหน่อยครับ)

$Z$ ข้างต้นเป็นเซตอนันต์อ่ะครับ มีสมาชิกไม่จำกัด เช่น
$\bmatrix{-1 & 0 \\ 0 & 1} , \bmatrix{2 & -1 \\ 3 & -2} $ และอีกบานตะไท

ผมลองลุยแบบกำหนดตัวแปรแล้ว แต่ว่าแยกไม่ออก ใครทำได้รบกวนด้วยครับ

$\bmatrix{-1 & 0 \\ 0 & 1} \bmatrix{2 & -1 \\ 3 & -2}= \bmatrix{-2 & 1 \\ 3 & -2}\not\in Z $

ขอบคุณมากมาย

หามาได้เองแท้ ๆ :dry:

Interesting Problem: Show that if $A,B\in Z-\{I,-I\}$ and $AB\neq I,-I$ then $AB\not\in Z$.