แบบนี้หรอครับ
$(1!)^{2000}$ ลงท้ายด้วย $1$
$2(2!)^{2000}$ $ 2^{2001}$ ลงท้ายด้วย $2$
$3(3!)^{2000}$ $3(6)^{2000}$ ลงท้ายด้วย $8$
$4(4!)^{2000}$ ลงท้ายด้วย $4$
$5(5!)^{2000}$ ลงท้ายด้วย $0$
$6(6!)^{2000}$ ลงท้ายด้วย $0$

$15/7$ เศษ $1$

ระวังว่าการคิดแบบที่ทำนั้นเป็นเลขลงท้ายนั้น ไม่ใช่เศษจากการหารครับ ตัวอย่างเช่น $2^5 =32$ นั้นลงท้ายด้วย$2$แต่ไม่ได้เหลือเศษจากการหารเท่ากับสองครับ....$32$หารด้วย7 เหลือเศษคือ 4
ถ้า 16 เหลือเศษจากการหารด้วย 7 เท่ากับ2
25เหลือเศษจากการหารด้วย 7 คือ 4
31 เหลือเศษจากการหารด้วย 7 คือ 3
แล้ว 16+25+31 เหลือเศษจากการหารด้วย 7 เท่ากับ....4+2+3=9 หารด้วยเจ็ดเหลือเศษคือ 2
16+25+31=72....หารด้วย7เหลือเศษ2.....ตรงกันไหมครับ
น่าจะได้ไอเดียแล้วครับ...เน๊าะ
เดี๋ยวแวะกลับมาช่วงสามสี่ทุ่มครับ...ไปวิ่งออกกำลังกับเล่นบาสก่อนครับ ขอตัวก่อนครับ

จากที่เรารู้แล้วว่าตั้งแต่พจน์ของ$7(7!)^{2000}+8(8!)^{2000}+.....+2000(2000!)^{2000}$จะมีตัวประกอบของ$7$ทุกพจน์ ดังนั้นเศษจากการหารจึงเกิดจากพจน์ของ$(1!)^{2000} + 2(2!)^{2000} + 3(3!)^{2000} +4(4!)^{2000}+5(5!)^{2000}+6(6!)^{2000}$
จากที่ยกตัวอย่างให้เห็นในreplyก่อน เราต้องหาเศษจากการหารแต่ละจำนวนแล้วเอาเศษมารวมกันหารด้วย$7$อีกทีถึงจะได้คำตอบ....ผมคงต้องอ้างเรื่องทวินามหน่อยครับ ไม่งั้นคิดกันทีละวงเล็บปวดหัวตาย
เวลาเรากระจาย$(a+b)^n$ เมื่อกระจายพจน์แล้ว ถ้าถามว่าเศษจากการหาร$(a+b)^n$ด้วย$a$ เท่ากับพจน์ที่ไม่มี$a$เป็นตัวประกอบ คือ $b^n$
มาดู$(1!)^{2000}$.....ได้เศษจากการหารด้วย7 คือ $1$
$2(2!)^{2000}$....คือ$2^{2001}$ เรารู้ว่า$2^3=8=7+1$ แปลงเป็น$(7+1)^{667}$ เหลือเศษคือ $1$
$3(3!)^{2000}$ $ = 3(6)^{2000}$ เราเห็นแล้วว่า$6^2=36=35+1=7(5)+1$ จะได้$(35+1)^{1000}$
เศษของการหาร$(35+1)^{1000}$ด้วย$7$คือ 1แต่นอกวงเล็บยังเหลือเลข 3...เศษจึงได้ $3$
$4(4!)^{2000}$ $ =4(24)^{2000}$ แยก$24=6\times 4$ จะเป็น$4(6^{2000})(4^{2000})$
เราเห็นแล้วว่า$4^3=64=63+1=7(9)+1$ จะได้ว่า$4^{2001} =(7(9)+1)^{667}$ซึ่งพจน์นี้มีพจน์ที่ไม่มีเลข 7 คือ $1^{667}$ ส่วน$6^{2000}$ เมื่อกี้ได้เศษคือ 1.....ดังนั้น$4(6^{2000})(4^{2000})$หารด้วย7เหลือเศษ $1$
$5(5!)^{2000}$ $=5(120)^{2000} =5(119+1)^{2000} =5(7(17)+1)^{2000}$ จะได้ว่าพจน์$(7(17)+1)^{2000}$เหลือเศษจากการหารด้วย 7 คือ 1 แต่ยังเหลือการคูณด้วย 5...ดังนั้นเหลือเศษเท่ากับ $5$
$6(6!)^{2000}$ $=6(720)^{2000} = 6(120^{2000})(6^{2000})$...จากที่เราทำมาก่อนนี้แล้วจะได้ว่า$120^{2000}$เหลือเศษจากการหารด้วย7เท่ากับ1....และ$6^{2000}$เหลือเศษจา กการหารด้วย7เท่ากับ1
ดังนั้น$6(120^{2000})(6^{2000})$เหลือเศษจากการหารด้วย7 เท่ากับ$6$
รวมทั้งหมดเศษเหลือเท่ากับ$1+1+3+1+5+6 = 17$หารด้วย$7$เหลือเศษ$3$....
วิธีที่ผมตอบอาจยาวไปหน่อย ตามอายุกับสนิมที่เกาะในร่องสมอง อาจมีวิธีที่ลัดกว่านี้ เดี๋ยวคงมีคนมาช่วยตอบครับ

ขอบคุณมากครับ ผมพอไล่เลขออกแล้ว :great:

แก้ไขสีเขียวด้วยนะครับ