ช่วยหน่อยครับคิดไม่ออก เรื่องหารลงตัว ไม่ถนัดเลย
 

จงหาว่าจำนวนเต็มบวก n ทั้งหมดกี่จำนวนที่มีค่าไม่เกิน 2013 ที่ทำให้
n^4+5n^2+9 หารด้วย 5 ลงตัว

$n^4 \equiv 1 \pmod{5} $

แยกเคส $n=5k,5k+1,5k+2,5k+3,5k+4$

คุณ กขฃคฅง ครับ ถ้า $5\mid n$ แล้ว $n^4\equiv 0\pmod 5$ นะครับ

$n^4+5n^2+9$ หารด้วย $5$ ลงตัว แสดงว่ามีจำนวนเต็ม $m$ ที่ทำให้ สมการ $n^4+5n^2+9 = 5m$ เป็นจริง

$n^4+5n^2+9 = 5m$
$n^4+5n^2 = 5m-9$
$n^2(n^2+5) = 5(m-2)+1$

นั้นคือหาว่ามี $n$ ไหนบ้างที่ทำให้ $n^2(n^2+5)$ หารด้วย $5$ แล้วได้เศษ $1$ กำหนด $ mod $ คือตัวดำเนินการหารเอาเศษนะครับ
$(n^2(n^2+5)) mod 5 $
$= ((n^2 mod 5)((n^2 mod 5) + (5 mod 5))) mod 5 $
$= ((n^2 mod 5)(n^2 mod 5)) mod 5 $
$= ((n^2 mod 5)^2) mod 5 $
$= ((((n)mod 5)^2)^2) mod 5 $
$= (((n)mod 5)^4) mod 5 $

จะแปลงปัญหานี้ไปเป็นว่า หาว่ามี $n$ กี่ตัว (ในช่วงที่ต้องการ) ที่ทำให้ $(((n)mod 5)^4) mod 5 $ ได้เศษ 1
ซึ่งอาจมองได้ว่า ถ้าแปลง n เป็นเลขฐาน 5 มีอะไรบ้างที่ยกกำลัง 4 แล้วลงท้ายด้วยเลข 1
แล้วเนื่องจากเลขที่ลงท้ายด้วย 1 ยกกำลังอะไรก็ยังลงท้ายด้วย 1 และเลขฐาน 10 ถ้าจะแปลงเป็นฐาน 5 โดยต้องการทราบแค่เฉพาะเลขท้าย ก็แค่ mod 5
$0^4=0$
$1^4=1$
$2^4=16=15+1$
$3^4=81=80+1$
$4^4=256=255+1$
นั้นคือ ถ้า n เป็นเลขฐานสิบที่มีเลขท้ายทุกตัวเลขยกเว้นเป็นเลข 0 หรือ 5 จะทำให้ $(((n)mod 5)^4) mod 5 $ ได้เศษ 1

ผมหมายถึงว่าถ้า $n$ สอดคล้องกับโจทย์แล้ว $n^4 \equiv 1 \pmod{5} $ น่ะครับ

ว่าแต่1006ตัวถูกมั่ยครับ
วิธีเห็นn^4+5n^2+9พิจารณาว่าการที่5หารลงตัวและ
เพราะฉะนั้นหลักหน่วยต้องเป็น5n^4+5n^2จึงต้องมีหลักหน่วยเป็น6
ลองแทนค่าหลักหน่วยอย่างเดว
n=1----1^4+5×1^2=10หลักหน่วยไม่เป็น6ก็ใช้ไม่ได้
n=2----6+5×2=6ใช้ได้ต่อไปก็ลองเป็นเลขคู่
n=4----6+5×6=6ก็ใช้ได้ลองต่อไป
.
.
.
n=2012จะได้6+5×4ได้หลักหน่วยเป็น6
เพราะอย่างงั้นจะได้ง่าตัวที่ทำให้5หารลงตัวได้ก็เลยต้องเป็นเลขคู่
เพราะฉะนั้นก็ต้องหารด้วย2ได้และเป็นเลขคู่ใช้ สูตรเลขคณิตหาตามหลัก ของaในพจน์ที่nแล้วก็หามาจะได้1006จำนวน
ถูกมั้ยครับถ้าถูกก็บอกด้วยหรือผิดก็บอกมาเลยครับ