หา ครน. 5 ตัว
 

จำนวน 5 จำนวนซึ่งมี ครน.คือ 5187 ซึ่งมีจำนวนเฉพาะอยุ่ 4 จำนวน แต่ห้ามให้มีเลข 1 คือเลขอะไรบ้าง

ให้ $N=5187$ ทีนี้ก็ดูที่ความเป็น ครน. ของจำนวนใดๆ

มันคือจำนวนเล็กสุดที่จำนวนที่พิจารณาไปหารมันลงหมดทุกตัวถูกป่าว

แต่ 5 จำนวนนั้นยังไม่รู้ว่ามีอะไรบ้าง สมมติให้เป็น $a,b,c,d,e$ ละกัน

แสดงว่า $a,b,c,d,e$ หาร $N$ ลง และ $N$ เล็กสุดคือ 5187

แยกตัวประกอบของ 5187 ออกมาจะได้มี 3,7,13,19

ต้องสังเกตให้ได้ว่าชุดของจำนวนเฉพาะที่ประกอบเป็น $a,b,c,d,e$

ต้องเป็นชุดเดียวกับที่เจอใน $N$ ซึ่งมีได้แค่ที่แยกออกมาเป็น 3,7,13,19

(ไม่งั้น ถ้าให้มี $p_k \in \mathbb{P}$ ที่เป็นตัวประกอบของ $a$

แต่จาก $a$ หาร $N$ และ $a$ มี $p_k$ เป็นตัวประกอบ จะได้ตัวประกอบตัวนี้ต้องเจอใน $N$ ด้วย

ซึ่งมันก็จะบีบกลับมาว่าชุดตัวประกอบที่เจอใน $a,b,c,d,e$ ต้องเป็นชุดเดียวกับ $N$)

จากทั้งหมดก็เป็นการเพียงพอที่จะดูจำนวนวิธีที่สร้าง $a,b,c,d,e$ ให้มีชุดตัวประกอบเป็น 3,7,13,19

โดยที่ต้องไม่มี 1 อยู่ในนี้ เขียนให้ $a=3^{x_{a}}7^{y_a}13^{z_a}19^{t_a}$ เขียนแยกเหมือนๆกันสำหรับ $b,c,d,e$ ที่เหลือด้วย

จากการที่ $N=5187$ แยกออกมาดีกรีของจำนวนเฉพาะแต่ละตัวจะเป็น 1 หมด

เพราะงั้นก็ได้ข้อสรุปว่า $a,b,c,d,e$ เป็นจำนวนที่ประกอบไปด้วยชุดของจำนวนเฉพาะยกกำลังคูณๆกัน

โดยที่เลขชี้กำลังเป็นได้อย่างมากคือไม่ 0 ก็ 1 (เพราะถ้ามันดันเกินกว่านี้ เช่น $a$ มี $3^{x_{a}}$ โดยที่
$x_{a}$ ใหญ่กว่า 1 มันจะได้ $a$ ไปหาร $N$ ไม่ลง ซึ่งขัดแย้ง)

เพราะงั้นคำตอบของโจทย์จะสมมูลกับการสร้างคู่อันดับ $(x_{a},y_{a},z_{a},t_{a}),(x_{b},y_{b},z_{b},t_{b}),...,(x_{e},y_{e},z_{e},t_{e})$

โดยที่ $x,y,z,t$ แต่ละตัวเป็นเลขชี้กำลังที่เจอในชุดตัวประกอบ เอาไปเขียนเป็นแมททริกมันจะได้ดูง่ายๆหน่อย

เลือกแมททริกขนาดแถวเป็น 5 (สำหรับ a,b,c,d,e) หลักเป็น 4 (สำหรับ x,y,z,t) สมาชิกเป็นได้แค่ 0,1

จากโจทย์ต้องห้ามมี 1 คือห้ามมีแถวใดๆเป็น $(0,0,0,0)$ และเราไม่พิจารณาจำนวนที่ซ้ำกัน

ต้องห้ามมีแถวใดๆที่มีลำดับซ้ำกัน ไม่งั้นจำนวนนั้นจะเหมือนกัน เช่นแถวแรกมี (1,0,1,0) ซ้ำกับแถวที่ 3 (1,0,1,0)

จำนวนที่สร้างจะได้ทั้ง $a,c$ เป็น $3\cdot 13$ ทั้งคู่ ซึ่งไม่เอาแบบนี้เพราะโจทย์จะเอา 5 ตัวต่างกันและไม่มี 1

เขียนแมททริกออกมาแล้วนับดู โดยมีเงื่อนไขคือห้ามมีแถวใดๆเป็น 0 และห้ามมีแถวใดๆซ้ำกัน

ถ้าความรู้การนับผมไม่โง่เกินจะตอบ $(2^4-1)(2^4-2)(2^4-3)(2^4-4)(2^4-5)$ มาจากกฎการคูณธรรมดาๆ

ไม่รู้ถูกป่าวนะครับ รบกวนช่วยลองๆเชคให้ด้วย :laugh:

ถ้าให้ดีช่วยแปะที่มาของโจทย์ด้วย มันจะได้ประเมินความยากกันพลาดไว้เนิ่นๆก่อน เดี๋ยวปล่อยไก่อีก :laugh:

------------------------------------------------------------------------------------
ขออภัยในความไม่รอบคอบ ต้องเอาคำตอบที่ได้ก้อนๆนั้นมาหารออกด้วย 5! ด้วยครับ ^^

ฝากทบทวนความถูกต้อง แล้วก็กลับไปคิดๆด้วยนะครับ ขอบคุณครับ

นึกว่าให้หา ค.ร.น. ทีเดียว ห้าตัวเลข

เข้าใจวิธีอยู่นะแต่ว่ามันผิด เช่น
$(0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,0,1,1),(0,1,0,0),(0,1,0,1)$ จะไม่ได้ ค.ร.น เป็น 5187 ครับ

กำลังคิดถึงคุณ Thgx อยู่พอดี :laugh:

พอมองออกแล้วครับว่าผิดตรงไหน ขอบคุณมากครับ :great:

ปล.ถ้ามีวิธีเจ๋งๆก็รบกวนด้วยนะครับ

หรือจะบอกว่า จำนวนเฉพาะที่เป็นคำตอบ อาจจะมีที่ไม่ได้เรียงกันจำนวนมากกว่า ใช่มั้ย ?

หาโค้ดโปรแกรมหาจำนวนเฉพาะ n จำนวนให้ได้ก่อนเถอะครับ