รบกวนแก้โจทย์ระบบสมการครับ
 

กำหนดให้
$$\frac{a}{2^2-1^2}+\frac{b}{2^2-3^2}+\frac{c}{2^2-5^2}=1$$
$$\frac{a}{4^2-1^2}+\frac{b}{4^2-3^2}+\frac{c}{4^2-5^2}=1$$
$$\frac{a}{6^2-1^2}+\frac{b}{6^2-3^2}+\frac{c}{6^2-5^2}=1$$

หาค่าของ $a+b+c$

ถ้าไม่คิดแบบคำนวณตรงๆ มีเทคนิคดีๆ แนะนำไหมครับ

รบกวนขอแนวคิดด้วยจะดีมากครับ ถ้าใช้ความรู้เกินม.ต้นก็ไม่เป็นไรนะครับ ขอบคุณล่วงหน้าครับ :)

สวัสดีค่ะ

ระบบสมการอยู่ในรูป $\dfrac{a}{t-1}+\dfrac{b}{t-9}+\dfrac{c}{t-25}=1$ เมื่อ $t=4,16,36$

จะได้ว่า $a(t-9)(t-25)+b(t-1)(t-25)+c(t-1)(t-9)=(t-1)(t-9)(t-25)$

เพราะว่า เมื่อ $t=4,16,36$ นิพจน์ $(t-4)(t-16)(t-36)$ มีค่า 0 จึงสามารถเขียนได้เป็น

$a(t-9)(t-25)+b(t-1)(t-25)+c(t-1)(t-9)=(t-1)(t-9)(t-25)-(t-4)(t-16)(t-36)$

สังเกตว่านิพจน์ทั้งสองฝั่งเป็นพหุนามดีกรี 2 แต่มี 3 ราก (t=4,16,36) ทำให้สรุปได้ว่า

ทั้งสองฝั่งเป็นจริงสำหรับทุกค่า $t$

แทน $t=1$ ได้ $a$ แทน $t=9$ ได้ $b$ แทน $t=25$ ได้ $c$

จริงๆมีโจทย์คล้ายๆกัน เป็น AIME 1984 ข้อสุดท้ายค่ะ ลองไปศึกษาดูได้ในลิงค์ค่ะ
http://www.artofproblemsolving.com/w...ems/Problem_15


สวัสดีค่ะ

ขอบคุณคุณ Scylla_Shadow มากๆ เลยครับ :)