2 คำถาม ครับ
ใครมีไอเดียดีๆ สำหรับ 2 ข้อด้านล่างนี้ ก็ช่วยตอบให้หน่อยนะครับ (หรือจะ hint อย่างเดียวก็ได้ครับ) :please:
1. หาตัวอย่าง $ a_n ,b_n $ ที่มีคุณสมบัติทั้ง 3ข้อด้านล่าง (i) $ a_n , b_n > 0 $ และเป็น decreasing sequences (ii) $ \sum a_n , \sum b_n $ เป็น divergent series (iii) $ \sum min\{a_n,b_n\} $ เป็น convergent series 2. พิสูจน์ว่ามีจำนวนนับ $ n $ ที่ทำให้ $ 0 < \sin n < 10^{-10} $ โดยไม่ใช้แคลคูลัส หรือ taylor series ขอบคุณล่วงหน้าสำหรับทุกคำตอบ / ความเห็นครับ :) |
ข้อสองผมคิดว่าน่าจะใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันไซน์ที่มุมขนาดเล็กมากๆได้ เพราะถ้ามี $n$ ที่ว่าจริงจะต้องมีจำนวนเต็ม $k$ ที่ทำให้ $0<n-2k\pi<10^{-10}$ หรือมีจำนวนเต็ม $k'$ ที่ทำให้ $0<(2k'+1)\pi-n<10^{-10}$ (อาศัยวงกลมหนึ่งหน่วยครับ)
ข้อแรกตอนแรกผมก็นึกถึง $(a_n)=(b_n)=1/n$ แต่มันไม่ผ่านเงื่อนไขข้อสาม เลยไม่รู้เหมือนกันครับว่าจะเอาไงต่อดี |
ขอออกความเห็นดังนี้ครับ
ข้อ 1. ไม่อยากเชื่อว่ามี sequences เช่นนั้นอยู่จริงเลย แต่ผมพยายามพิสูจน์ก็ไม่สำเร็จครับ ข้อ 2. อาศัยความเป็นอตรรกยะของ $\pi$ และเทคนิคแบบเดียวกับที่ใช้ทำโจทย์ข้อ 16. ใน Number Theory มาราธอน ของคุณ nooonuii น่าจะทำได้นะครับ ให้ $k$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ทำให้ $$0< \lceil 2k\pi \rceil - 2k\pi < 10^{-10} $$ เราจะได้ $n= \lceil 2k\pi \rceil $ ที่ทำให้ $$ 2k\pi <n< 2k\pi + 10^{-10} $$ และ $$ 0< \sin n < \sin 10^{-10} < 10^{-10} $$ ตามต้องการครับ :) |
ขอบคุณมากๆสำหรับทั้ง 2 ความเห็นครับ :great:
สำหรับข้อ 1 ดูเหมือนจะง่ายแต่ผมก็ติดมาเป็นอาทิตย์แล้วครับ โดยข้อนี้ ผมได้มาจาก exercise ใน textbook วิชา Analysis ระดับ ป.ตรี ครับ |
ผมทราบวิธีทำข้อ 1. แล้วครับ แต่ต้องถามคุณ passer-by ก่อนว่า ที่ว่าเป็น decreasing sequences นี่คือเป็น strictly decreasing ใช่ไหมครับ หรือเป็นแค่ monotonic decreasing ก็ใช้ได้
|
strictly decreasing sequence ครับ
|
อ้างอิง:
|
ขอบคุณ คุณ warut มากๆครับ
ตอนแรกก็คิดถึง $ c_n $ ตัวเดียวกับคุณ warut เป๊ะเลยครับ แต่นึก $ a_n ,b_n $ ไม่ออก ส่วนตัวที่มาคั่น นี่ก็ต้องเช็คจากโปรแกรมเอาใช่ไหมครับ ว่า ควรจะบวกถึง $ \frac{1}{4^2+29} $ หรือ $ \frac{1}{33^2+1873} $ ซึ่งเป็นเทอมแรกที่ทำให้ผลบวกเกิน 1 สรุปว่า แนวทางการสร้างก็คือ พยายามทำให้ partial sum ของ $ a_n , b_n $ unbounded นั่นเอง |
อ้างอิง:
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 07:28 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha