|
อสมการรากสมอ
Samor root Inequality
Let $x,y>0$. Show that $$\left(\frac{3\left(x^2+2xy\right)}{y^2+4xy+4x^2}\right)^{x} \leq \left(\frac{3\left(y^2+2xy\right)}{x^2+4xy+4y^2}\right)^{y}$$ if and only if $$x \geq y$$ :great: $$f\left(a\right) := \left(\frac{3\left(a^2+2a\right)}{1+4a+4a^2}\right)^{a} \cdot \frac{a^2+4a+4}{3\left(1+2a\right)} $$ :laugh: |
รู้สึกว่า จะไม่มีคนนอนดึกเลยนะครับ ^^
|
ให้ $a=\dfrac{x}{y}$ ได้ว่าโจทย์สมมูลกับการพิสูจน์ว่า $\displaystyle\left(\frac{3\left(a^2+2a\right)}{1+4a+4a^2}\right)^{a} \leq \frac{3\left(1+2a\right)}{a^2+4a+4}$ ก็ต่อเมื่อ $a\geq1$ พิจารณาฟังก์ชัน $\displaystyle f\left(a\right) := \left(\frac{3\left(a^2+2a\right)}{1+4a+4a^2}\right)^{a} \cdot \frac{a^2+4a+4}{3\left(1+2a\right)}$ สามารถแสดงได้ว่า $f(a)$ เป็นฟังก์ชันลดบน $(0,\infty)$ และจาก $f(1)=1$ ดังนั้น $\displaystyle\left(\frac{3\left(a^2+2a\right)}{1+4a+4a^2}\right)^{a} \cdot \frac{a^2+4a+4}{3\left(1+2a\right)}\leq1$ ก็ต่อเมื่อ $a\geq1$ นั่นคือ $\displaystyle\left(\frac{3\left(a^2+2a\right)}{1+4a+4a^2}\right)^{a} \leq \frac{3\left(1+2a\right)}{a^2+4a+4}$ ก็ต่อเมื่อ $a\geq1$ ตามต้องการ |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
ขอคำแนะนำด้วยครับ |
1 ไฟล์และเอกสาร
ขอเสริมนิดนึงนะครับ
รูปนี้เป็นกราฟของฟังก์ชันดังกล่าว สำหรับคนที่อยากพิสูจน์ด้วยไอเดียที่ว่า :kaka: |
อ้างอิง:
อ้างอิง:
|
ผมเสนอไอเดียของผมบ้างนะครับ :)
อสมการจะจัดรูปได้เป็น $$x^{x}\cdot \left(\frac{x+2y}{3}\right)^{x+2y} \leq y^{y}\cdot \left(\frac{2x+y}{3}\right)^{2x+y}$$ :great: |
อย่างงั้น มันก็จบแล้วใช่หรือไม่ครับ
ผมไม่ค่อยแน่ใจ :confused: |
อ้างอิง:
|
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 21:22 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha