การอินทิเกรทโดยการแทนค่า
 

มีเด็กมาถามการบ้านในหนังสือ

$\int_{}^{}\,\frac{4x^2+6x-1}{\sqrt{1-2x} } dx $

ทำออกมาได้

$-\frac{1}{5}(1-2x)^{\frac{5}{2}}+ \frac{5}{3}(1-2x)^{\frac{3}{2}}-3(1-2x)^{\frac{1}{2}}+C$

แต่หนังสือเฉลย

$-\frac{1}{5}(1-2x)^{\frac{5}{2}}+ \frac{7}{3}(1-2x)^{\frac{3}{2}}-4(1-2x)^{\frac{1}{2}}+C$

ไม่แน่ใจว่าทำผิดหรือเฉลยผิด รบกวนช่วยเช็คให้หน่อยครับ

วิธีทำ

$\int_{}^{}\,\frac{4x^2+6x-1}{\sqrt{1-2x} } dx $

$\int_{}^{}\,\frac{(1-2x)^2-5(1-2x)+3}{\sqrt{1-2x} } dx $

ให้

$u = \sqrt{1-2x}$

$\frac{du}{dx}= \frac{1}{2\sqrt{1-2x}}(-2)$

$-u du = dx$

แทนค่า

$\int_{}^{}\,\frac{u^4-5u^2+3}{u } -udu $

$\int_{}^{}\,-u^4+5u^2-3 du $

$-\frac{1}{5}u^5 + \frac{5}{3}u^3 - 3u + C$

อันนี้ diff แล้วได้ $\dfrac{4x^2+6x-1}{\sqrt{1-2x}}$

อันนี้ diff แล้วได้ $\dfrac{4x^2+10x-2}{\sqrt{1-2x}}$

ขอบคุณครับ :great:

คือตั้งแต่เรียนจบมาก็แทบไม่ได้แตะอีกเลย :p