ข้อสอบ เพชรยอดมงกุฎ2552 รอบ2
 

โจทย์ในการดวลรอบแรก 5 ข้อ เวลาทำ 7.5 นาที:D:D

1. จำนวนขั้นบันไดทั้งหมดเท่ากับ X ขั้น โดยที่ X = 7Y แดงยืนอยู่ขั้นบันไดที่ 2Y + 5 ดำยืนบนขั้นบันไดขั้นที่ 4Y - 3 เอกยืนต่ำกว่าแดง 19 ขั้น ถ้าดำเดินขึ้นไปอีก 3Y+3 ขั้น ก็จะเป็นขั้นบันไดบนสุดพอดี แดงเดินมากกว่าดำ Y+9 ขั้น ก็จะถึงขั้นบนสุด ถ้าแดงเดินถึงขั้นบนสุดแล้ว เอกจะอยู่ตรงจุดกึ่งกลางระหว่างแดงกับดำ อยากทราบว่าเอกจะต้องเดินขึ้นและลงจำนวนกี่ขั้น

2. ยายลี มีเงินจำนวนหนึ่ง ถ้าเขาเก็บเงินได้ 15 บาท ที่เหลือแบ่งให้เด็กคนละ 6 บาท มีเด็กกี่คนที่มารับเงินน้อยกว่าเมื่อเขาแบ่งให้เด็กคนละ 5 บาท จำนวน 7 คน

3. ธรรมนูญมีแท่งโลหะตันรูปทรงกรวยขนาดเส้นผ่านศูนย์กลาง 16 เซนติเมตร สูง 32 เซนติเมตร วฤทธิ์มาขอตัดยอดกรวยทำให้กรวยเหลือความสูงเพียง 24 เซนติเมตร หลังจากนั้นมานะได้มาขอตัดยอดกรวยออกไปอีก ทำให้กรวยเหลือความสูงเพียง 18 เซนติเมตร ปริมาตรของแท่งกรวยที่เหลือคิดเป็นกี่เท่าของชิ้นที่มานะตัดออกไป

4. ถังน้ำยาเคมีทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก มีปริมาตร 5,814 ลูกบาศก์เซนติเมตร มีความกว้าง ยาว สูง เป็นเลขจำนวนนับที่เรียงติดต่อกัน ถังใบที่หนึ่งบรรจุน้ำยาเต็มถัง ถังใบที่สองมีระดับน้ำยาขาดไป 1.5 เซนติเมตร ถังใบที่สามมีน้ำยา 3 ใน 4 ของถัง ถังใบที่สี่ มีระดับน้ำยาสูงกว่าถังใบที่ 3 เท่ากับ 2.5 เซนติเมตร จงหาปริมาณน้ำยาที่หายไปในถังทั้ง 4 ใบ ว่ามีกี่ลิตร

5. นางมาซื้อที่ดินจากนายปี้ด จำนวน 5 ไร่ 3 งาน 20 วา ในราคาตารางวาละ 2,500 บาท แบ่งพื้นที่ 20%ของที่ดิน เพื่อขุดบ่อลึก 4 เมตร ใช้เก็บกักน้ำตามหลักเศรษฐกิจพอเพียง โดยจ้างรถขุดชั่วโมงละ 1,550 บาท ถ้าขุด 1 ชั่วโมงได้ 232 ลูกบาศก์เมตร อยากทราบว่านางมาต้องเสียเงินทั้งสิ้นเท่าไร

ที่ดิน จำนวน 5 ไร่ 3 งาน 20 วา = 2320 ตารางวา
20%ของที่ดิน = $\frac{20}{100}\times 2320 = 464 $ ตารางวา $= 464\times 4 = 1856$ ตารางเมตร $= 1856 \times 4 =7424$ ลูกบาศก์เมตร

ขุด 1 ชั่วโมงได้ 232 ลูกบาศก์เมตร จะใช้เวลา $\frac{7424}{232} = 32 $ ชั่วโมง

จ้างรถขุดชั่วโมงละ 1,550 บาท จะเสียเงิน $32 \times 1550 = 49,600$ บาท



ลืมไปครับ

นางมายังไม่ได้จ่ายค่าที่ดิน :D

ค่าที่ดิน $ 2320 \times 2500 = 5,800,000 $ บาท

ดังนั้นต้องจ่ายเงินทั้งหมด 5,800,000 + 49,600 = ตอบ 5,849,600 บาท

มีปริมาตร 5,814 ลูกบาศก์เซนติเมตร มีความกว้าง ยาว สูง เป็นเลขจำนวนนับที่เรียงติดต่อกัน ---> 17, 18, 19

ดังนั้นถังนี้สูง 19 ซม.

ถังใบที่สอง น้ำยาขาด 1.5 ซม. คิดเป็นปริมาตร $1.5 \times 17 \times 18 $ ลบ.ซม

ถังใบที่สาม ขาดไป $\frac{1}{4} \times 5814$ ลบ.ซม


ถังใบที่ 4 มีระดับน้ำยาสูงกว่าใบที่ 3 อยู่ 2.5 ซม

ส่วนที่สูงกว่ามีปริมาตร $2.5 \times 17\times 18 $ ลบซม. .....(1)

ถังใบที่ 3 มีปริมตาร $\frac{3}{4}\times 5814 $ ลบ.ซม. ...(2)

ดังนั้นน้ำยาถังที่4ที่ขาดไปเท่ากับ $ 5814 - (1) - (2)$

$= 5814 - (2.5 \times 17\times 18 ) - ( \dfrac{3}{4}\times 5814 ) $ ลบ.ซม

$= 5814 - (765 ) - ( 4360.5 ) $ ลบ.ซม

$= 688.5 $ ลบ.ซม ............(3)


ดังนั้น สามถังขาดไป $(1.5 \times 17 \times 18 ) + (\frac{1}{4} \times 5814) + 688.5 $

$= (459) + (1453.5) + (688.5) = 2601 $ ลบ.ซม.

$= ตอบ 2.601 $ ลิตร

ตอบ ปริมาณน้ำยาที่หายไปในถังทั้ง 4 ใบ มี 2. 601 ลิตร

ปริมาตรกรวยธรรมนูญ = $\frac{1}{3} \pi 8^2 \times 32$ ..................(1)

วฤทธิ์ตัดไปสูง 8 ซม. และมานะปาดไปอีก 6 ซม.
จากสามเหลี่ยมคล้ายได้ว่า รัศมีฐานกรวยที่วฤทธิ์ตัดไป = 2 ซม. และ รัศมีฐานกรวยที่มานะตัดไป = $\frac{7}{2}$ ซม.

ปริมาตรกรวย วฤทธิ์กับ มานะ ตัดไป = $\frac{1}{3} \pi (\frac{7}{2})^2 \times 14$ ..................(2)

ปริมาตรกรวย วฤทธิ์ตัดไป = $\frac{1}{3} \pi (2)^2 \times 8$ ..................(3)

ปริมาตรกรวย มานะตัดไป = (2) - (3) = $ (\frac{1}{3} \pi (\frac{7}{2})^2 \times 14 ) - (\frac{1}{3} \pi (2)^2 \times 8) = \frac{558}{3\times 4} \pi $ ..................(4)

ปริมาตรที่ธรรมนูญเหลือ = (1) - (2) = $\frac{1}{3} \pi 8^2 \times 32 - \frac{1}{3} \pi (\frac{7}{2})^2 \times 14 = \frac{7506}{3 \times 4} \pi $ ..................(5)


$\frac{ปริมาตรของแท่งกรวยที่เหลือ}{ชิ้นที่มานะตัดออกไป}$ = $\dfrac{(5)}{(4)}$ = $\dfrac{ \dfrac{7506}{3\times 4} \pi}{\dfrac{558}{3\times 4} \pi } = \dfrac{7506}{558} = 13\frac{14}{31}$ เท่า

ข้อนี้ อ่านโจทย์แล้วไม่เข้าใจ

แบบนี้หรือเปล่าครับ
2. ผู้ใหญ่ลี มีเงินอยู่จำนวนหนึ่ง ถ้าเขาเก็บเงินไว้ 15 บาท ที่เหลือแบ่งให้เด็กคนละ 6 บาท มีเด็กที่มารับเงินน้อยกว่า เมื่อเขานำเงินทั้งหมดมาแบ่งให้เด็กคนละ 5 บาท อยู่ 7 คน อยากทราบว่าจะมีเด็กกี่คนที่มารับเงินคนละ 6 บาท


ผู้ใหญ่ลีมีเงินทั้งหมด $x$ บาท
ถ้าให้คนละ 5 บาท ก็จะมีเด็กได้รับเงิน $\frac{x}{5}$ คน

ผู้ใหญ่ลีเม้มไว้ 15 บาท แล้วแจกเงินแค่ $x-15$ บาท ให้คนละ 6 บาท จะมีเด็กได้เงิน $\frac{x-15}{6}$ คน

จะได้สมการ

$\frac{x}{5} - \frac{x-15}{6} = 7$

$x=135$

ดังนั้นแจกคนละ 6 บาท จะมีเด็กได้เงิน $\frac{135-15}{6} = 20 $ คน

ข้อนี้ไม่เข้าใจคำถามครับ

"อยากทราบว่าเอกจะต้องเดินขึ้นและลงจำนวนกี่ขั้น "

ข้อมูลโจทย์มีแค่นี้หรือครับ

เนื่องจาก (4y-3)-(2y+15) = y+9, ดังนั้น y = 17, x = 7y = 119,

เดิม: เอกอยู่ที่ 2y-14 = 20, แดงอยู่ที่ 2y+15 = 39, ดำอยู่ที่ 4y-3 = 65

ปัจจุบัน : ดำอยู่ที่ 4y-3 = 65, แดงเดินขึ้นไปอยู่ที่ 7y = 119, เอกต้องเดินไปที่ขั้น (119+65)/2 = 92

ดังนั้น : เอกจะต้องเดินขึ้น = 72 ขั้น คร้าบ.. :D