ข้อสอบสอวน.2551
 

ชุดพีชคณิตก่อนนะครับ มี10ข้อ
21. ให้ $x,y$เป็นจำนวจริงที่สอดคล้องกับสมการ
$$4x^{2}+y^{2}+4x-2y+2=0$$
จงหาค่าของ $4(4y^{2}+x^{2}+4y-2x+2)$

22. ให้ $ X= \{ (a,b) \in R\times R \mid a^{3}+b^{3}=7 และ a^{2}+b^{2}+a+b+ab=4 \} $และ
$ Y=\{a^{2}+b^{2} \mid (a,b) \in X \}$ ค่าน้อยที่สุดของสมาชิกในเซต $Y$ เท่ากับเท่าไร

23. ให้ $ q_1,q_2,...,q_n $ เป็นจำนวนตรรกยะที่สอดคล้องกับ
$$ \frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt[3]{2}} = 2^{q_1}+2^{q_2}+...+2^{q_n}$$
จงหาค่าของ $2(n+q_1+q_2+...+q_n)$

24. ให้ $ X=\{ a\in I^{+} \mid \{x\in R\mid\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}=a\}\not=\oslash \} $
จงหาผลบวกของสมาชิกใน $X$

25. มีจำนวนเต็มบวก $n$ทั้งหมดกี่จำนวนที่สอดคล้องกับอสมการ
$$ 100<\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}<1000 $$

26. ให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับ $z^{x}=y^{2x} , 2^{z}=2\cdot4^{x} , x+y+z=16$ ค่าของ $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ เท่ากับเท่าไร

27. ให้ $x,y,z$ เป็นคำตอบของระบบสมการ
$$(x+y)(x+y+z)=18$$
$$(y+z)(x+y+z)=30$$
$$(z+x)(x+y+z)=2$$
$x+y+z$ เท่ากับเท่าไร

28. ให้ $S=\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2007^{2}}+\frac{1}{200 8^{2}}}$
ถ้า$S=a+\frac{b}{c}$ โดยที่ $a,b,c \in I^{+},b<c$ และ ห.ร.ม.ของ $b,c$เท่ากับ $1$ แล้ว $b+c$ เท่ากับเท่าไร

29. ให้ $S=1^{1}+2^{2}+3^{3}+...+999^{999}+1000^{1000}$
ถ้า $S=a\times10^{n}$ โดยที่ $1\leq a<10$ และ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว $n$ มีค่าเท่ากับเท่าไร

30. ให้ $f(x)$ แทนพหุนามที่สอดคล้องกับ $(f(x))^{2}=xf(f(x))+2008^{2}$
จงหา $f(2009)f(-2009)$

ข้อ 21.45
ข้อ 25.991799
ข้อ 26.106
ข้อ 28.4015
ข้อ 29.998
ผิดถูกอย่างไรบอกด้วยครับ

เอา30.ก่อนแล้วกันนะครับ

เห็นได้ชัดว่า พหุนามศูนย์ไม่ให้สมการเป็นจริง
ต่อไปจะหาดีกรีของ $f$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
จากโจทย์ สมมติให้ $n$ เป็นดีกรีของ$f$จะได้ว่า
$$2n=1+n^2$$

นั่นคือ n=1เท่านั้น ซึ่งจะได้ว่า$f(x)=ax+b$(น่าจะได้แล้วนะ)
ตอบ-4017

28. โดย Math Induction จะได้ว่า$S_n=n+n/(n+1)$ แทนค่า$n=2008$

27. ให้ $k=x+y+z$ จะได้ว่า $18/k=x+y$,$30/k=y+z$,$2/k=x+z$ นำทุกตัวบวกกันจะได้ว่า $$x+y+z=25/k$$
นั่นก็คือ $x+y+z=5,-5$

21. $$4x^{2}+y^{2}+4x-2y+2=0$$
$$(4x^{2}+4x+1)+(y^{2}-2y+1)=0$$
$$(2x+1)^{2}+(y-1)^{2}=0$$
$$\because (2x+1)^{2}\geqslant 0 , (y-1)^{2}\geqslant 0$$
$$\therefore 2x+1=0$$
$$x=-\frac{1}{2}$$
และ
$$\therefore y-1=0$$
$$y=1$$
นำค่าที่ได้ไปแทนค่าลงในโจทย์ ได้คำตอบออกมาเป็น 45ครับ

25. $$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$$
$$=-1+\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}+\sqrt{4}...-\sqrt{n}+\sqrt{n+1}$$
$$=\sqrt{n+1}-1$$
$$\therefore 100<\sqrt{n+1}-1<1000$$
$$ 101<\sqrt{n+1}<1001 $$
$$ 10201<n+1<1002001$$
$$ 10200<n<1002000$$
หาจำนวนที่อยู่ระหว่าง 10200 และ 1002000 ซึ่งก็คือ 991799 ครับ

ครั้งนี้ดูข้อสอบละ ถือว่าไม่ยากมากอะ (ไปคุมสอบมา) ที่สำคัญเดะ ๆ น่ารัก เกือบอดใจไม่ไหวเข้าไปบอกคำตอบซะละ

จากในโจทย์ถ้านำทุกสมการบวกกันจะได้
$(x+y+y+z+z+x)(x+y+z)=50$
$2(x+y+z)^2=50$
$\Rightarrow x+y+z=\pm 5$

คิดว่าปีนี้ยากกว่าปีที่แล้วนิดนึง ทำได้ 22 ข้อสะเพร่าไป 4-5
T T อยากร้องไห้ตาย ชีวิตนี้มีแต่ความสะเพร่ารึไง

แล้วไอ้ที่สะเพร่ามันเป็นจุดที่มั้นไม่น่าจะสะเพร่าด้วยเนี่ยสิ เช่น ผมคิดว่า 6/2=2 ฮือๆๆๆอยากบ้าตายโว้ย

ยากกว่าตรงไหนครับ ปีนี้ง่ายกว่าอีก ในความคิดของผมนะครับ :great:

แต่ผมว่าปีนี้ยากกว่านะครับ ผมทำไม่ค่อยได้อ่ะครับ:sweat:
ปีนี้น่าจะตัดที่กี่คะแนนเหรอครับ

11 คะแนนก็ติดแล้วแหละครับ ...
ข้อ 29 ผมคิดได้ 3000 นะครับ
คือเราต้องพิสูจน์ว่าสำหรับทุกจำนวนนับ n ประโยค $P(n)=1^1+2^2+...+n^n<10n^n$ จะเป็นจริงอะครับซึ่งก็พิสูจน์ได้ไม่ยากเพราะ R.H.S มีค่าเยอะมากๆ
ดังนั้นในกรณีนี้เราจึงได้ว่า
$1^1+2^2+...+1000^{1000}<10*1000^{1000}=10^{3001}$
นั้นเองครับนั้นคือ
$10^{3000}<S<10^{3001}$
จึงเป็นที่แน่นอนว่า S ต้องเขียนในรูป $ax10^{3000}$ ได้ โดย $a$ มีค่าตามเงื่อนไข

22. ให้ $p=a+b,q=ab$ จะได้

$p(p^2-3q)=7$

$p^2+p-q=4$

ดังนั้น

$p[p^2-3(p^2+p-4)]=7$

$(p-1)^2(2p+7)=0$

$p=1,-\dfrac{7}{2}$

ดังนั้น

$(p,q)=(1,-2),(-\dfrac{7}{2},\dfrac{19}{4})$

แต่ $(-\dfrac{7}{2},\dfrac{19}{4})$ ใช้ไม่ได้

จึงได้

$a^2+b^2=p^2-2q=5$

_________________________________________________________

23. ให้ $x=\sqrt[6]{2}$ จะได้

$x^6=2\Rightarrow (x-1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=1$

ดังนั้น

$\dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt[3]{2}}=\dfrac{1}{x^3-x^2}$

$~~~~~~~~~~~~=\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{x^6}{x^3-x^2}\Big)$

$~~~~~~~~~~~~=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x^4}{x-1}$

$~~~~~~~~~~~~=\dfrac{1}{2}x^4(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$

$~~~~~~~~~~~~=\dfrac{1}{2}(x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4)$

$~~~~~~~~~~~~=2^{1/2}+2^{1/3}+2^{1/6}+2^0+2^{-1/6}+2^{-1/3}$

ล่ะครับ
พี่ครับๆๆๆ ทำไมผมได้เป็น $2^{1/2}+2^{1/3}+2^{1/6}+2^{-1/6}+2^{-1/3}+2^0$ล่ะครับ

เพิ่มเติมครับ
$24.9 (2+3+4)$
$30.-4017 (f(x)=x+2008,x-2008)$