[แต่งเอง] โจทย์อสมการ
 

ปิดเทอมว่างๆ นั่งคิดโจทย์ได้ข้อหนึ่ง เลยเอามาปล่อยกระตุ้นห้องนี้สักหน่อย ^^

ให้ $x,y,z>0$ และ $x+y+z=3$
จงพิสูจน์ว่า
$$(\sqrt{x^2+x}+ \sqrt{y^2+y}+ \sqrt{z^2+z})^2 \ge 6(\sqrt{x}+ \sqrt{y}+ \sqrt{z} ) $$

ฝากโจทย์ซักข้อครับ

อสมการพื้นฐานธรรมดาเลยครับ โดย power mean
$(\sqrt{x^2+x}+ \sqrt{y^2+y}+ \sqrt{z^2+z})^2 \ge \dfrac{1}{2}(x+\sqrt{x}+y+\sqrt{y}+z+\sqrt{z})^2 $
$= \dfrac{1}{2}(3+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2$
$= \dfrac{1}{2}(9+6(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})+(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2)$
$\ge \dfrac{1}{2}(12(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}))$
$= 6(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})$

#2 ข้อสองผมไม่รู้แบบไม่ homogeneous อ่ะครับ

ต้อง PQR Method+Homogeneuos แล้วก็เปลี่ยนตัวแปรนิดหน่อยครับ

#2
จัดรูปแล้ว AM-GM ครับ
#3
555 ก็ตั้งใจให้แก้แบบไม่ซับซ้อนนี่แหละครับ

มาเพิ่มอีกข้อหนึ่ง (ไม่แน่ใจว่ามันมีโจทย์นี้อยู่แล้วหรือยัง แต่อันนี้คิดออกมาเอง แต่ดูแล้วมันคุ้นๆ 55)
$a,b,c>0$ และ $a+b+c=1$
จงพิสูจน์ว่า
$$\dfrac{a}{1+bc}+\dfrac{b}{1+ca}+\dfrac{c}{1+ab}\geq \dfrac{a}{1+a^2}+\dfrac{b}{1+b^2}+\dfrac{c}{1+c^2}$$