ข้อสอบมหิดล สมาคมคณิตศาสตร์ ชิงถ้วนพระราชทาน เพชรยอดมงกุฎฯลฯ (มีโจทย์มา update)
 

[size="6"]ก่อนเริ่มทำเราข้อชี้แจงก่อนนะครับ"เราจะนำข้อสอบมาโพสเรื่อยๆนะครับ มาติดตามกันบ่อยนะ(มันเป็นข้อสอบไม่ใหม่่มากนะ) อยากให้ช่วยเฉลยหน่อยเพราะบางข้อเราทำไม่ได้หรือดูเฉลยแล้วไม่เข้าใจ ถ้ามีคำแนะนำดีๆก็บอกกันได้นะครับเพราะเราเพิ่งเริ่มโจทย์พวกนี้ขอบคุณครับ:)
1.ให้ 500<n<1000 โดยที่ n หารด้วย 4,6,7เหลือเศษ3เท่ากันหมด และnหารด้วย5ลงตัว จงหาค่าn(ข้อสอบมหิดล)
เนื่องจาก ค.ร.น.ของ4,6,7 เท่ากับ84?
กำหนด nหารด้วย4,6,7เหลือเศษ3เท่ากันหมด
; n=84t+3 โดยที่ t เป็นจน.เต็มบวก และnหารด้วย5ลงตัว
ดังนั้น $\frac{84t+3}{5}$=$\frac{85t-t+3}{5}$=$17t-\frac{t-3}{5}$
ทำให้ $\frac{t-3}{5}$ ได้ผลลัพธ์เป็นจน.เต็ม(หมายความว่าอย่างไร)
กำหนด$k=\frac{t-3}{5};t$=5k+3 โดยที่ k เป็นจน.เต็มบวก(อธิบายตรงนี้ด้วยนะ:)
แทนค่า t?ใน?n=84t+3 ; n=84(5k+3)+3
n=420k+255
แต่500<n<1000ทำให้ k=1?
ดังนั้น n=420(1)+255=675
มีมาเพิ่ม
2.$(2^{(-2)^{(-2)}})^{(-2)^{(-2)^2}}$มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้(โอลิมปิกรอบแรก)
=$\binom{1}{2^{2^{(-2)^2}}}^{(-2)^4}$
=$(2^\frac{1}{4})^{16}$
=$2^4$
=16
เราอยากถามว่า$\binom{1}{2^{2^{(-2)^2}}}^{(-2)^4}$ทำอย่างไรถึงออกมาเป็นแบบนี้แล้วกลายมาเป็น$2^\frac{1}{4})^{16}$ได้อย่างไรขอบคุณครับ
3.จน.หลักของ $8^{16}\cdot5^{40}$ เป็นเท่าใด (โอลิมปิกรอบแรก)
เนื่องจาก $N=A\cdot10^n$ โดยที่ 1<A<10 และnเป็นจน.เต็มบวก N จะมีจน.หลักเท่ากับ n+1 หลัก(ทำไมต้องบวก1)
พิจารณา $8^{16}\cdot5^{40}$ ? ? =$(2^3)^{16}\cdot5^{40}$
=$2^{48}\cdot5^{50}$
=$2^8\cdot2^{40}\cdot5^{40}$
=$256\cdot10^{40}$
=$2.56\cdot10^{42}$
ดังนั้น?$8^{16}\cdot5^{40}$?มีทั้งหมด 42+1=43
โจทย์ข้อนี้มันเกี่ยวกับสัญญากรวิทยาศาสตร์ด้วยขอบคุณครับ
มีมาเพิ่ม
4.จงหาจน.เต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าเท่ากับ $\frac{10^{33}}{10^{31}+3}$ (สอวน.)
พิจารณา $\frac{10^{33}}{10^{31}+3}$
=$\frac{(10^{33}+3\cdot10^2)-3\cdot10^2}{10^{31}+3}$
=$\frac{10^2(10^{31}+3)-3\cdot10^2}{10^{31}+3}$
=$10^2-\frac{3\cdot10^2}{10^{31}+3}$
กำหนด x = $\frac{3\cdot10^2}{10^{31}+3}$ ($10^2$กับ-หายไปไหนและก็อธิบายข้อความต่อไปนี้ด้วยครับ)
0<x<1
-1<-x<0
100-1<100-x<100-0
99<x<100
ดังนั้นจน.เต็มที่มากที่คือ 99
5.มีตัวเลขจน.เต็มที่อยู่ระหว่าง 0-200 กี่จน.ที่หารด้วย 11 แล้วเหลือเศษ 9 (อันนี้ไม่รู้ว่าเป็นข้อสอบของอะไรขอโทษด้วย)
จาก ตัวเลขจน.เต็มที่อยู่ระหว่าง 0-200 ที่หารด้วย 11 แล้วเหลือเศษ 9 ดังนี้ 9,20,31,42,53,64,75,86,97,108,119,130,141,152,163,174,185,196 สรุปได้ว่า ตัวเลขจน.เต็มที่อยู่ระหว่าง 0-200 มีที่หารด้วย 11 แล้วเหลือเศษ 9 ทั้งหมด 18จน. (ใครพอจะมีวิธีที่ดีกว่านี้ไหม เพราะถ้าใช้วิธีนี้มันช้าและยากมาก)
มีมาเพิ่ม (24/ก.ค./2554)
6.ให้ N = 1?1!+2?2!+3?3!+...+20?20! จงหาผลบวกของจน.เฉพาะทุกจน.ที่เป็นตัวประกอบของ N+1 (สอวน.)
N = 1?1!+2?2!+3?3!+...+20?20!
?? =(2-1)1!+(3-1)2!+(4-1)3!+...+(21-1)20!
?? =2!-1!+3!-2!+4!-3!+...+21!-20!
?? =21!-1! ? <---- ทำไมมันมีค่าเท่านี้ เพราะทุกอันมันลบกันแต่ละคู่จะมีค่าเท่ากับ 1! ไม่ใช่หรอครับ?
?? =21!-1
ดังนั้น N+1=21!
....
....
7."สูตรของเลอจองดร์ นอกจากการหาว่ามีเลขศูนย์ลงท้ายกี่ตัวแล้ว ยังใช้ทำอะไรได้อีก?(อันนี้อยากรู้สับสนมาก)
มีมาเพิ่ม(25/กค./2554)
8.กำหนดให้ n! = n(n-1)(n-2)...3?2?1 เมื่อให้ n เป็นจน.เต็มบวก $(1!+2!+3!+...+2547!)^{(2!+3!+4!+...+2547!)^{(3!+4!+5!+...+2547!)^{...(2547)!}}}$ = A?$10^n& เมื่อ $2\leqA<10$ และ n เป็นจน.เต็มของทศนิยมหลักสุดท้ายที่ไม่ใช่ 0 คือเลขใด (โครงการสรรหานร.ที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์)
เนื่องจาก 1!+2!+3!+...+2547! จะมีเลขลงท้ายด้วย 3
กำหนด x = $(1!+2!+3!+...+2547!)^{(2!+3!+4!+...+2547!)^{(3!+4!+5!+...+2547!)^{...(2547)!}}}$
?? ? ? ? x = $(เลขลงท้ายด้วย 3)^{(2!+3!+4!+...+2547!)^{(3!+4!+5!+...+2547!)^{...(2547)!}}}$
เนื่องจาก 4 หาร 4!,5!,6!,...ลงตัวเพราะมี 4 เป็นตัวประกอบ
และ 2!+3!=8 ดังนั้น 4 หารลงตัว
; (2!+3!+4!+...+2547!)^h หารด้วย 4 ลงตัว เมื่อ h\geq1 และ h เป็นจน.เต็ม จะเห็นว่า x ลงท้ายด้วย 1
เมื่อจัดรูป x ให้อยู่ในรูป A?10^n ?จะได้ทศนิยมหลักสุดท้ายของ A คือ 1
เราอยากถามว่า?
8.1.ทำไมต้องใช้ 4 หาร (บอกด้วยว่า4มาจากไหน)
8.2.แล้วทำไมต้องยกกำลัง h แล้ว h มันคืออะไร
8.3.ทุกตัว 4 หารลงตัวหมด ยกเว้น 1! ใช่ไหม ถ้าใช่ช่วยอธิบายด้วยว่าหารไม่ลงตัวเพราะอยู่ในนรูป $\frac{1}{4}$ ใช่หรือไม่ครับ (ต้องขอโทษนะที่ถามอย่างละเอียด เพราะว่าเราไม่มั่นใจในหนังสือน่ะมันพิมผิดบ่อย ขอบคุณครับ)

เป็นจำนวนเต็ม คือไม่ติดเศษส่วน เพราะโจทย์บอกว่า หารด้วย 5 ลงตัว ดังนั้นจึงกำหนดให้ เป็นจำนวนเต็มบวก $k$ ครับ

สังเกตว่า $10^2=100$ มี 3 หลัก $(2+1)$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ 10^3=1000$ มี 4 หลัก $(3+1)$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ 10^4=10000$ มี 5 หลัก $(4+1)$
ดังนั้น $10^n$ มี $n+1$ หลักครับ

แนะนำจขกท.หน่อยนะ เห็นหลายรอบแล้ว

ลำดับการเขียน ค่อนข้างสับสนนะ

ลองแบ่งวรรค เว้นบรรทัดบ้าง แล้วก็ฝึกพิมพ์ Latex อีกนิดนึง จะน่าอ่านขึ้นนะครับ :)

ข้อ 2 ทำทีละขั้นครับ จะได้ไม่งง
$2^{(-2)^{(-2)}}$ คิดเลขยกกำลังข้างบนก่อน
$(-2)^{(-2)}=\frac{1}{(-2)^2}=\frac{1}{4}$
$\therefore 2^{(-2)^{(-2)}}=2^{\frac{1}{4}}$
ส่วนเลขยกกำลังข้างนอกวงเล็บ $(-2)^{(-2)^2}=(-2)^4=16$
ดังนั้น $(2^{(-2)^{(-2)}})^{(-2)^{(-2)^2}}=(2^{\frac{1}{4}})^{16}$ ครับ

อีกนิดนะครับ แล้วทำไมไม่เอา17tมาด้วยอะครับ

t เป็นจำนวนเต็มบวกอยู่แล้ว เอา 17 คูณ ก็ยังเป็นจำนวนเต็มอยู่แล้ว ไม่ต้องลากมาคิดด้วย

เราทำไม่เป็นอะนายพอมีวิธีไหมทำเท่าไหร่Latexมันก็ยังเบี้ยวอยู่เลย

ช่วยขยายความอีกหน่อยได้ไหมครับยังงงอยู่เลย(อย่าเพิ่งเบื่อนะเราไม่รู้จริงๆ ขอบคุณครับ)

ไม่สนิทกัน ไม่ควรใช้สรรพนามแบบนี้ครับ:mellow:

เลือกใช้คำอื่นจะเหมาะสมกว่า



ส่วน Latex มีพื้นที่ทดสอบอยู่ ไปลองดูก่อน ส่วนวิธีใช้ก็มีบอก ลองอ่านหรือยัง

ขอโทษครับ เราไม่ได้พิมในเวบเราใช้โปรแกรมครับ

#11
ใช้โปรแกรมอะไรครับ ถ้าไม่ใช่ Web Browser


หรือว่า Mathcenter ทำเป็น App บน iOS, Android ?? หรูสุดๆไปเลยนะเนี่ย

คือว่า $\frac{t-3}{5}$ เราต้องการให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็ม $17t$ เป็นจำนวนเต็มอยู่แล้วไม่ต้องนำมาคิด(ไม่เชื่อลองแทน $t=1,2,3,..$ ดูครับ)
ทีนี้ค่า $t$ จะเป็นเท่าไหร่ก็ได้ครับแต่ต้องทำให้ $\frac{t-3}{5}$ เป็นจำนวนเต็มด้วย
$t=1\ \ , \ \ \frac{t-3}{5}=-\frac{2}{5}$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม
$t=2\ \ , \ \ \frac{t-3}{5}=-\frac{1}{5}$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม
$t=3\ \ , \ \ \frac{t-3}{5}=0$ เป็นจำนวนเต็ม แต่พอไปแทนในค่าเริ่มต้นจะได้
$84t+3=84(3)+3=255$ ซึ่งน้อยกว่า 500 ตามที่โจทย์กำหนด
$t=4,5,6,7$ ก็ไม่ทำให้ $\frac{t-3}{5}$ เป็นจำนวนเต็มเลย
$t=8\ \ , \ \ \frac{t-3}{5}=1$ เป็นจำนวนเต็ม
แทนกลับในค่าเริ่มต้น คือ $84t+3$ได้ $84(8)+3=675$ อยู่ในช่วงที่โจทย์กำหนด
ซึ่งวิธีดังกล่าวเป็นการสุ่มตัวเลข
ลองกลับไปคิดตรง $\frac{t-3}{5}$ ใหม่ก็จะรู้ว่า จะเป็นจำนวนเต็มได้ $t-3$ จะต้องลงท้ายด้วย 0 หรือ 5
นั่นคือ $t-3=5,10,15,20,...$
ดังนั้น $t=8,13,18,...$ ซึ่งก็จะได้ $t=8$ เป็นคำตอบเลยครับ

ให้ $n=11k+9$ เมื่อ $k$ เป็นจำนวนเต็ม
ดังนั้น $0<11k+9<200$
$\ \ \ -9<11k<191$
$\ \ \ -\frac{9}{11}<k<17\frac{4}{11}$
$\ \ \ 0\leqslant k\leqslant 17$
$k=0,1,2,3,...,17$ มีทั้งหมด 18 จำนวน ครับ

ตรงบรรทัดสีแดงต้องเป็น $99<100-x<100$ ครับ
ส่วนที่ถามก็คือ เราต้องการจำนวนเต็ม $10^2$ เป็นจำนวนเต็ม ก็ไม่นำมาคิดเหมือนเดิมครับ
จะเหลือ $x$ เท่านั้นที่เป็นเศษส่วน จึงกำหนดให้ $0<x<1$ ไงครับ