ช่วยดู Proof เรื่องกรุป ให้ผมด้วยครับ
 

จากที่เคยถามไปว่า
1. ให้ G เป็นกรุปการเรียงสับเปลี่ยนบนเซต S a อยู่ใน S และให้ Ga = {c อยู่ใน G โดยที่ c(a) = a}
เราเรียก Ga ว่า ตัวทำให้เสถียร ของ a ใน G จงพิสูจน์ว่า Ga เป็นกรุปย่อยของ G
2. จากโจทย์ข้อ 1 ถ้า S = {1, 2, ... , n} จงพิสูจน์ว่า Gn สมสัณฐานกับ S ของ n - 1

รบกวนคุณ NOOONUII ช่วยผมด้วยครับ
ข้อ 1. มันจะง่ายแบบว่าให้ H เป็นกรุปย่อย พิสูจน์ว่า a*b ผกผัน อยู่ใน H หรือไม่
ข้อ 2. พิสูจน์ Well defined, Injection, Surjection และ Homomorphism หรือเปล่าครับ

ข้อ 1 ใช่ครับ ไม่มีอะไรซับซ้อนเลย

ข้อ 2 ทำตรงๆครับ

นิยาม φ:Ga→Sn−1 โดย

φ(π) = π*

เมื่อ π* เป็น restriction ของ π บนเซต {1,...,n−1}
............................................................................................................................

ข้อ 1
ให้ c, d^1 อยู่ใน Ga
จะได้ว่า c*d^-1(a) = a
เพราะฉะนั้น c*d^-1 อยู่ใน Ga
^ คือ ยกกำลัง

ข้อ 2
1. ความเป็น f:1-1
ให้ x, y อยู่ใน Gn ดังนั้นถ้า φ(x) = φ(y) แล้ว x = y
2. ความเป็น onto
จาก φ(π) = π* เห็นชัดว่าเป็น onto เนื่องจาก π* บนเซต {1,...,n−1} เป็น restriction ของ n
3. สาทิฐสัณฐาน
ให้ a, b อยู่ใน Gn
จะได้ว่า φ(a*b) = a*b
และ φ(a)*φ(b) = a*b ที่ทุก a, b อยู่ใน n*
นั่นคือ φ(a*b) = φ(a)*φ(b)

รบกวนคุณ NOOONUII ช่วยผมด้วยครับ ว่ามันผิดตรงจุดไหน และข้อ 2 จะพิสูจน์ Well Definded อย่างไรครับ

ช่วงนี้ผมติดภาระงานมาก ไม่สามารถจะไปสอบ Pure ได้ (ทั้งๆ ที่สมัครสอบไปแล้ว) คงต้องรอสอบปีหน้า ในระหว่างนี้ผมคงต้องเก็บความรู้ไปเรื่อยๆ ก่อนครับ
เสียดายจริงๆ

well-defined ก็เห็นได้ชัดครับ

ถ้า $\tau=\pi$ restriction ของทั้งสองตัวก็ต้องเท่ากันด้วย

ส่วน homomorphism ยังดูกำกวมไปครับ

$\phi(x\circ y)=(x\circ y)^*$

$\phi(x)\phi(y)=x^*\circ y^*$

ต้องพิสูจน์ว่า $(x\circ y)^*=x^*\circ y^*$ ครับ

สงสัยครับว่า

- สาทิฐสัณฐาน
- สมสัณฐาน

มีคำเป็นภาษาอังกฤษและความหมายว่าอย่างไร คำไทยมาจากคำมอญ อ่านแล้วงง ถ้าคล้ายๆ กัน แบบนี้

และโจทย์เลขแบบนี้ เอาไปใช้ประโยชน์อะไรได้บ้างครับ

ต้องพิสูจน์ว่า (x∘y)*=x*∘y* ส่วนนี้พิสูจน์ยังไงครับ
รบกวนอีกคุณ nooonuii อีกครั้งครับ

เราก็แค่ลดโดเมนลงมาที่เซต $\{1,...,n-1\}$ แล้วพิสูจน์ครับ

ไม่มีอะไรซับซ้อนถ้าเข้าใจความหมายของสัญลักษณ์ครับ

พอลดโดเมนลงมาแล้ว พิสูจน์ยังไงครับ รบกวนคุณ NOOONUII ช่วยชี้แนะให้หน่อยครับ
การโอเปอเรชั่นของกรุป และการส่งมันเป็นยังไง ผมยังมองภาพไม่ออก ถ้าเข้าใจตรงนี้ผมจะทำ Homomorphism ได้ครับ