ช่วยพิสูจน์ อสมการ นี้ให้หน่อยครับ
 

Prove that :

$$\sqrt{n}^\sqrt{n+1} > \sqrt{n+1}^\sqrt{n}$$ for all $$n>8$$

$n\geqslant 7$ รึเปล่าครับ

เอ๊ะ! n>8 ขอโทษครับลืมดูทั้งหมด

ถ้าถึกหน่อยก็ใช้แคลคูลัสได้ครับ

โดยแสดงให้เห็นว่า $f(x)=\sqrt{x}^{(1/\sqrt{x})}$ เป็นฟังก์ชันลดโดยแท้เมื่อ $x>8$ ครับ

$\sqrt{n}^\sqrt{n+1} > \sqrt{n+1}^\sqrt{n}$

ยกกำลังสองทั้งสองข้าง

$n^{\sqrt{n+1}}>(n+1)^{\sqrt{n}}$

ยกกำลัง $\sqrt{n}$ ทั้งสองข้าง

$n^{\sqrt{n+1}\sqrt{n}}>(n+1)^{n}$

หารด้วย $n^n$ ทั้งสองข้าง

$n^{\sqrt{n+1}\sqrt{n}-n}>\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}$

จากสมบัติของ $e$ เราได้ว่า

$\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}<e<3$

ดังนั้นเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า

$n>3^{2+\frac{2}{n}}>3^{\frac{1}{\sqrt{n^2+n}-n}}$ ซึ่งเป็นจริงทุก $n\geq 10$

สำหรับ $n=7,8,9$ ต้องออกแรงเองครับ

Reference: Five Hundred Mathematical Challenges