Mathcenter Forum - NT problem

คำตอบคือมีเพียงแค่ $2$ เท่านั้นครับ

โดยก่อนอื่นมาพิจารณากันในเคสเล็ก ๆ ก่อนก็คือ $p=2$ และ $p=3$ ซึ่งก็ตรวจสอบได้ไม่ยากครับว่ามีเพียง $p=2$ ทึ่สอบผ่านเงื่อนไขของโจทย์

ต่อมาเรามาดูในเคสที่ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะที่มากกว่า $3$ ก็สังเกตได้ง่ายทันทีว่า $2$ และ $3$ ไม่สามารถหาร $p$ ลง (ก็แหงสิครับ! เล่นให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะที่ต่างจาก $2$ กับ $3$ นี่นา :laugh: ) ดังนั้นโดยการเช็ค mod ก็จะได้ว่า $8 \mid p^2+2543$ (ด้วยความจริงที่ว่า $2 \nmid p$) และก็ได้ว่า $3 \mid p^2+2543$ (ด้วยความจริงที่ว่า $3 \nmid p$)

นั่นหมายความว่า ถ้า $p \ge 5$ จะได้ว่า $p^2+2543$ มีตัวประกอบบวกอย่างน้อย $16$ ตัว นั่นก็คือ

$1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, \frac{p^2+2543}{24}, \frac{p^2+2543}{12}, \frac{p^2+2543}{8}, \frac{p^2+2543}{6}, \frac{p^2+2543}{4}, \frac{p^2+2543}{3}, \frac{p^2+2543}{2}, p^2+2543$

จึงได้ว่า $p \ge 5$ สอบตกเงื่อนไขที่ต้องการ

สรุปคำตอบจีงมีแค่ $2$ เท่านั้น