ฟังก์ชันเพิ่ม
 

อยากทราบว่ามีวิธีการใดบ้างที่ทำให้เรารู้ว่าสมการใดเป็นฟังก์ชันเพิ่ม หรือดูว่าเป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วงใด

y= $\frac{t^2+1}{t^2}$

มีวิธีการดูอย่างไรค่ะ

t1 < t2

จะได้ y1 > y2

โดยที่ y1 = 1 + 1/[t1]^2

โดยที่ y2 = 1 + 1/[t2]^2

ดังนั้นเป็นฟังก์ชันลด

ใช้ first derivative test ครับ สำหรับฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์

$f(t)=\dfrac{1+t^2}{t^2}$

$f'(t)=-\dfrac{2}{t^3}$

ถ้า $t>0$ แล้ว $f'(t)<0$ ดังนั้น $f$ เป็นฟังก์ชันลดในช่วง $(0,\infty)$

ถ้า $t<0$ แล้ว $f'(t)>0$ ดังนั้น $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วง $(-\infty,0)$

ถ้าฟังก์ชันไม่มีอนุพันธ์ให้ดูที่ผลต่าง $f(x)-f(y)$

$f(x)-f(y)=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{y^2}$

$~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{(y-x)(y+x)}{x^2y^2}$

ถ้า $x,y>0$ และ $x\leq y$ แล้ว $f(x)-f(y)\geq 0$ ดังนั้น $f(x)\geq f(y)$

จึงได้ว่า $f$ เป็นฟังก์ชันลดในช่วง $(0,\infty)$

ถ้า $x,y<0$ และ $x\leq y$ แล้ว $f(x)-f(y)\leq 0$ ดังนั้น $f(x)\leq f(y)$

จึงได้ว่า $f$ เป็นฟังก์ชันลดในช่วง $(0,\infty)$

ถ้า $x>0,y<0$ หรือ $x<0,y>0$ สรุปอะไรไม่ได้ครับ

ถ้า x,y>0 และ x≤y แล้ว f(x)−f(y)≥0 ดังนั้น f(x)≥f(y)

จึงได้ว่า f เป็นฟังก์ชันลดในช่วง (0,∞)

ถ้า x,y<0 และ x≤y แล้ว f(x)−f(y)≤0 ดังนั้น f(x)≤f(y)

จึงได้ว่า f เป็นฟังก์ชันลดในช่วง (0,∞)

*ขอโทษน่ะค่ะ ไม่ทราบว่าเขียนผิดหรือเปล่า

Sorry, my bad.