ช่วยทำโจทย์ อินทิเกรต ข้อนี้หน่อยค่ะ
 

$$\int_{0}^{1}\,(\sqrt{t^2 + 2t}) (5t^4 + 2) dt $$

ข้อนี้ผมใช้วิธี แทนค่าตรีโกณ นะครับ

$t^2 + 2t = t^2 + 2t + 1 -1 = (t+1)^2 -1$
$t+1 = sec{\theta} $
$dt = sec{\theta} tan{\theta} d{\theta}$
$t = sec{\theta} - 1$

$$\int_{0}^{1}\,(\sqrt{t^2 + 2t}) (5t^4 + 2) dx = \int\,(\sqrt{sec^2{\theta} - 1}) (5(sec{\theta} - 1)^4 + 2) sec{\theta} tan{\theta} d{\theta}$$

$$\int_{0}^{1}\,(\sqrt{t^2 + 2t}) (5t^4 + 2) dx = \int\,tan{\theta} (5(sec{\theta} - 1)^4 + 2) sec{\theta} tan{\theta} d{\theta}$$

$$\int_{0}^{1}\,(\sqrt{t^2 + 2t}) (5t^4 + 2) dx = \int\,(5sec^5{\theta}tan^2{\theta} - 15sec^4{\theta}tan^2{\theta} + 30sec^3{\theta}tan^2{\theta} - 15sec^2{\theta}tan^2{\theta} - 3sec{\theta}tan^2{\theta}) d{\theta}$$

พออินทิเกรตเสร็จแล้ว ต้องแปลงค่ากลับให้อยู่ในรูปตัวแปร t โดยใช้ สามเหลี่ยมปีทากอรัส นะครับ

จากนั้นแทน ขอบเขต ก็จะได้คำตอบออกมาครับ

ปล. ตรวจดูอีกทีนะครับ ไม่ได้ใช้นานแล้ว อาจจะมีผิดพลาดบ้าง ต้องขออภัยด้วยครับ หรือใครมีวิธีที่ง่ายกว่านี้ช่วยชี้แนะด้วยครับ