โจทย์เพชรยอดมงกุฏ ปี 2554 บางข้อ
 

รบกวนช่วยชี้แนะด้วยครับ

ข้อ 11 สร้างพหุนามค่ะ

ข้อ 14. จัดรูปได้

$\displaystyle \sum_{k = 1}^{360}\frac{1}{\sqrt{k(k+1)}(\sqrt{k}+\sqrt{k+1})} $

$=\displaystyle\sum_{k=1}^{360}\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k(k+1)}}$

$=\displaystyle\sum_{k=1}^{360}(\frac{1}{\sqrt{k}} - \frac{1}{\sqrt{k+1}})$

$=\displaystyle 1-\frac{1}{19} = \frac{18}{19} = \frac{m}{n}$

$\therefore\,\, m+n=37$

ข้อ 19.

$*\,d_1,d_2, ..., d_k$ เป็นตัวประกอบของ $n\,*$

ถ้า $d_2=2$ จะได้ว่า $n=2$

ถ้า $d_2=k$ โดย $k>2$

จะได้ว่า $n$ และ $k$ เป็นเลขคี่ --> มีจำนวนตัวประกอบเป็นจำนวนคี่ --> เป็นกำลังสองสมบูรณ์

ถ้า $d_2=3\,(k=3)$ จะได้ว่า $n=3^2=9$
ถ้า $d_2=5\,(k=5)$ จะได้ว่า $n=5^4=625$
ถ้า $d_2=7\,(k=7)$ จะได้ว่า $n=7^6>2011$
จะได้ว่า ถ้า $k\geq 7$ จะไม่มี $n$ ในช่วงที่กำหนดมาที่สอดคล้องแล้ว

ดังนั้น $n = 2,9,625$

ทำไมถึงต้องให้ $Q(x) = P(x)-10x^2+1$ อ่ะครับ :wacko:

$Q(x)$ มีรากคือ $1,2,3,4$ จาก $P(x)$ โมนิกจะได้ $Q(x)$ โมนิก ดังนั้น $Q(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$

จะได้ $P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+10x^2-1$

ส่วนหน้าตาของ $Q(x)$ ก็สังเกตความสัมพันธ์เอาค่ะ

$P(1) = 9 = 10\cdot 1 -1$

$P(2) = 39 = 10\cdot 4 - 1$

$P(3) = 89 = 10\cdot 9 - 1$

$P(4) = 159 = 10\cdot 16 - 1$

ข้อ $39$
Attachment 17785

ลาก $CG$ จะได้สี่เหลี่ยมผืนผ้า $FF'GC$

ขอบคุณ คุณ computer และคุณ กขฃคฅฆง มากครับ ถ้าลูกชายไม่เข้าใจจะมาสอบถามใหม่นะครับ :D

รบกวนอีกข้อครับ ของปี 2553

ถ้า $C$ อยู่สูงกว่า $AB$ จะได้เป็นสามเหลี่ยมมุมป้าน
ดังนั้น $C$ อยู่ต่ำกว่าและเป็นมุมฉาก
ให้ $A(-q,q^2),\ B(q,q^2),\,C(p,p^2)$
จะได้ $AB=2q$
พื้นที่สามเหลี่ยม $= 2010 = \frac{1}{2} \times 2q \times (q^2-p^2)$
$q(q^2-p^2)=2010$ -----(*)

จาก $AC^2+BC^2=AB^2$ แล้วแทนค่าด้านในรูปp,q แล้วจัดรูป

จะได้ว่า $(p^2-q^2)(p^2-q^2+1)=0$ --> $p^2=q^2-1$

แทนค่าใน (*) ได้ $q=2010$

สุดท้ายจะได้ว่า $p^2=2010^2-1=2011\times 2009$

:great::great: ขอบคุณมากครับ คุณ computer

เข้าใจแล้วครับ ขอบคุณครับ