IE2
 

$a,b,c \in \mathbb{R^+}$ prove that $(\sum_{cyc}^{}\frac{1}{a})(\sum_{cyc}^{} \frac{1}{1+a})\geqslant \frac{9}{1+abc} $

ให้ $abc=k$, อสมการสมมูลกับ
\[\sum_{cyc}ab \sum_{cyc} \frac{ab}{k+ab} \geq \frac{9k}{k+1}\]
โดย AM-GM และ Cauchy
\begin{align*}
(k^{1/3}+1)\sum_{cyc}ab \sum_{cyc} \frac{ab}{k+ab}&\geq \left(3k^{1/3}(abc)^{2/3}+\sum_{cyc}ab\right)\sum_{cyc} \frac{ab}{k+ab} \\
& = \sum_{cyc}(k+ab)\sum_{cyc} \frac{ab}{k+ab} \\
& \geq (\sum_{cyc} \sqrt{ab})^2 \\
& \geq 9k^{2/3}
\end{align*}
ที่เหลือต้องพิสูจน์ว่า $9k^{2/3} \geq \frac{9k(k^{1/3}+1)}{k+1}$ สมมูลกับ $(k^{2/3}-1)(k^{1/3}-1) \geq 0$ ซึ่งเป็นจริงทุกๆ $k \geq 0$

คุณ gools โหดจังครับ วิธีผมดูเด็กน้อยเหลือเกิน

\begin{align*}
\left(\sum_{cyc} \dfrac{1+a^2c}{a}\right)\left(\,\sum_{cyc} \dfrac{1}{1+a}\right)
\geq \left(\sum_{cyc} \dfrac{c(1+a)^2}{a(1+c)}\right)\left(\sum_{cyc} \dfrac{1}{1+a}\right)
& \geq 3\sqrt[3]{(1+a)(1+b)(1+c)}\left(\sum_{cyc} \dfrac{1}{1+a}\right)\geq 9
\end{align*}