ข้อสอบ PAT1 คณิต ครั้งที่ 2 ปีการศึกษา 2552 (สอบ ก.ค 52)
 

กดดูเลยครับ :)
ข้อสอบ ความถนัดทางคณิตศาสตร์ (PAT 1) รหัสวิชา 71

คุณ sck ข่าวสารฉับไวเช่นเคยนะครับ :great:

อ่า ขอบคุณมากครับ ^^

Thx a lot :laugh:

มีเฉลยมั้ย อยากได้ค่ะ

รบกวนทุกท่าน ขอ hint 47 หน่อยครับ

ใช้ความสัมพันธ์ที่ให้มาให้เกิดประโยชน์สูงสุด
ผมได้ $\frac{\sqrt{5}}{2}$ อ่ะครับ

ได้เท่ากันครับ อิอิ
เออ ใครทำเสร็จแล้วมาโพสตืไว้บ้างนะครับ ได้ตรวจคำตอบกับ หรือใครมีเฉลยขอกันบ้างนะคร๊าบบบ

เออ ใครทำบ้างแล้ว มาโพสต์บ้างนะครับ อยากรู้
ปล. ขอ hint ข้อ 46 ครับ

อยากได้เฉลยอ่ะครับ เพราะอยากรู้ว่าผิดข้อไหนบ้างครับ เครียดมากเลย

ข้อ.46 f:{$1,2,3,...,n$}$\rightarrow ${$1,2,3,...,n$} เป็นฟังก์ชัน $1:1$ และทั่วถึงซึ่งสอดคล้องกับ

เงื่อนไข$f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n) = f(1) f(2) f(3) ... f(n) $

ต้องการ $f(1)-f(n)$ มีค่ามากที่สุดที่เป็นไปได้

แสดงว่า $f(1) = n$ และ $f(n) = 1$ จากเงื่อนไข จะได้

$n + (n-1) + (n-2) +...+1 = n(n-1)(n-2) ...1$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\frac{n(n-1)}{2} = n!$

ลำดับของ $\frac{n(n-1)}{2} \quad$ คือ $1,3,6,10,15,...$

ลำดับของ $n! \qquad $ คือ $1,2,6,24,120,...$

จะเห็นว่า $\qquad\frac{n(n-1)}{2} = n!$ เมื่อ $ \quad n=3$

ดังนั้นจะได้ $\quad f(1) -f(n) \quad = \quad 3-1 \quad =\quad 2$

:D:D:D

ขอวิธีทำข้อ 12 โดยใช้ตรีโกณมิติหน่อยครับ
พอรู้คำตอบว่าได้ข้อ 3. แต่มองวิธีคิดโดยใช้ตรีโกณไม่ออกเลย

แบบใช้ตรีโกณ (ขอโทษด้วยครับ ผมถนัดแต่ทำเรื่องง่ายให้เป็นเรื่องยาก :sweat:
ถ้าใครมีวิธีอื่น ช่วยเสนอแนะด้วยครับ นอกจากการเดา $3 - 4 - "5"$)

จากภาพที่มุม $A$ จะได้ $sin (A) = sin (m+n)$ ..............$1)$

จาก sin's law : $sin A = \frac{2x sin(B)}{3}$ .............$2)$

และ $sin (m+n) = sin(m)cos(n) +sin(n)cos(m) $
จัดรูป $sin (m+n) = \frac{(2x sin(B))(cos(n)}{5}+\frac{(8x sin(B))(cos(m))}{15}$.......$3)$

ให้ $2)$ = $3)$ จะได้
$3cos(n) +4cos(m) = 5$ ......................$4)$

จาก cosin's law จะได้ $cos(n) = \frac{61-4x^2}{60}$
และ $cos(m) = \frac{89-4x^2}{80}$

แทนค่า $cos(m)$ และ $cos(n)$ ลงใน $4)$ แล้วสมการจะได้
$x=2.5$ และ $BC = 2x = 5$:cry:

ให้ D เป็นจุดกึ่งกลางด้าน BC ใช้ กฎของ cosine กับสามเหลี่ยม ABD, ACD
ได้ $AB^2=AD^2+BD^2-2AD\cdot BD\cos \theta\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ ---(1)
และ $AC^2=AD^2+CD^2-2AD\cdot CD\cos (\pi-\theta)\,\,\,$ ---(2)
แต่ $BD=CD$ และ $cos \theta+\cos (\pi-\theta)=0$
จึงเอา (1)+(2) ได้ $$AB^2+AC^2=2AD^2+2BD^2$$
แทนตัวเลขลงไป $\displaystyle{4^2+3^2=2\Big(\frac{5}{2}\Big)^2+2x^2}$ :)

เคยเห็นอีกวิธีนึงครับ เป็นวิธีม.ต้น
เริ่มจากสามเหลี่ยม ABD กับ ACD มีพื้นที่เท่ากัน เพราะว่าฐานและส่วนสูงเท่ากัน
ใช้สูตรพื้นที่ $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
ได้ $\displaystyle{\frac{x+4+2.5}{2}\cdot\frac{x-4+2.5}{2}\cdot\frac{x+4-2.5}{2}\cdot\frac{-x+4+2.5}{2}=\frac{x+3+2.5}{2}\cdot\frac{x-3+2.5}{2}\cdot\frac{x+3-2.5}{2}\cdot\frac{-x+3+2.5}{2}}$
ไม่ไหวแล้ว ยอมแพ้